Question

[Nguyễn Hải An]

a, Cho a,b > 0 . CMR :\(\dfrac{1}{1+a^2}\)+ \(\dfrac{1}{1+b^2}\) \(\ge\)\(\dfrac{2}{1+ab}\) nếu ab \(\ge\)1

b, Cho a,b,c \(\ge1\). CMR : \(\dfrac{1}{1+a^4}\) + \(\dfrac{1}{1+b^4}\) + \(\dfrac{1}{1+c^4}\) \(\ge\)\(\dfrac{1}{1+ab^3}\) + \(\dfrac{1}{1+bc^3}\) + \(\dfrac{1}{1+ca^3}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)

Ta có đpcm.

b) Áp dụng công thức của phần a ta có:

\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)

Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)

Do đó:

\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$