cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 chứng minh rằng\(ab+bc+ca\le0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
2
25 tháng 12 2016
Ta có \(a+b+c=0\)
\(=>a=-b-c\)
Ta có \(ab+bc+ac\le0\)
\(=>\left(-b-c\right)b+bc+\left(-b-c\right)c\le0\)
\(=>-b^2-bc+bc-bc-c^2\le0\)
\(=>-b^2-bc-c^2\le0\)
\(=>-\left(b^2+bc+c^2\right)\le0\)(ĐPCM)
TV
2
14 tháng 7 2017
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\) với mọi x \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2.\left(ab+ac+bc\right)\le0\Rightarrow ab+ac+bc\le0\)
Vậy nếu a,b,c là 3 số thực thỏa mãn a+b+c=0 thì \(ab+ac+bc\le0\)
10 tháng 8 2017
Ta luôn luôn có:
(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ac)\(\ge\)ab+bc+ac (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\))(*)
Từ (*) suy ra: 0 > ab+bc+ac (đpcm)
HF
20 tháng 10 2019
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
IC
3
12 tháng 5 2018
Giải:
Ta có: a + b + c = 0 nên suy ra: b = – (a + c) thay vào biểu thức:
ab + 2bc + 3ca = -a.(a + c) – 2c.(a + c) + 3ac = -a² – ac – 2ac – 2c² + 3ac = – (a² + 2c²) ≤ 0 (đpcm).
WH
12 tháng 5 2018
Trả lời
Theo đề ra ta có:
a+b+c=0
\(\Rightarrow\)ab+2ab+3ac=-a(a+c)-2c(a+c)+3ac
=\(-a^2-ac-2ac-2ac^2+3ac\)
\(=-\left(a^2+2c^2\right)\le0\)
Vậy nếu a+b+c=0 thì \(ab+2bc+3ac\le0\left(đpcm\right)\)
KH
0
JY
4 tháng 6 2015
đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4
thay vào vế trái ta có
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)
Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)
------------
Cách khác:
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3
- - -
Côsi cho 3 số:
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)
Côsi cho 3 số:
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)
Lấy (1*) *(2*) ta có:
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9
=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4
thay vào P ta có:
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z
12 tháng 7 2018
Bạn ơi vì sao lại nhân với 9/4 mình tưởng chỉ nhân với 3/4 thôi chứ nhỉ
L
2
15 tháng 8 2019
Ta có: \(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)(1)
theo đề bài:
\(a^2+b^2+ab+bc+ac< 0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+ab+bc+ac\right)< 0\)
=> \(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< 0\)(2)
Từ (1); (2) =>\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< \) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
=> \(a^2+b^2< c^2\)
MT
0
a+b+c=0
<=> (a+b+c)2=0
<=> a2+b2+c2+2ac+2ab+2bc=0
<=> (a2+b2+c2)+2(ab+ac+bc)=0
do a2+b2+c2≥0 ∀ a,b,c
=> 2(ab+ac+bc)≤0
<=> ab+ac+bc ≤0(đpcm)