Cho \(x>0,y\ge0\) thỏa mãn \(x^3+y^3=x-y\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=x^2+y^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0
--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0
--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1
-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)
--> -1 <= x+y+2 <=1
--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017
hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3
Q<=2017, dau bang xay ra khi x+y+2=1 --> x+y=-1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3
giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1
\(1=x+y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}\ge5\sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^2\left(\frac{y}{3}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow1\ge5\sqrt[5]{\frac{x^2y^3}{108}}\Rightarrow\frac{1}{5}\ge\sqrt[5]{\frac{x^2y^3}{108}}\Rightarrow\frac{x^2y^3}{108}\le\frac{1}{3125}\)
\(\Rightarrow x^2y^3\le\frac{108}{3125}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\\x+y=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{3}{5}\end{cases}}}\)
Vậy...
\(\text{A=|x| - |x-2| }\le|x-x+2|=2\)
=> MaxA=2 , dấu bằng xảy ra khi \(x\ge2\)
x,y là số thực bạn ạ, đề thi trường mình 4 năm trước, thầy giao về nhà mà mình chưa làm được :''>
Lời giải:
Dựa vào điều kiện đề bài, ta dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(y=0, x=1\)
Như vậy, ta sẽ đi chứng minh \(A=x^2+y^2\leq 1\)
Thật vậy.
Xét hiệu:
\((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)=x^3+y^3-(x^3+xy^2-x^2y-y^3)\)
\(=2y^3+x^2y-xy^2=y[2y^2+x(x-y)]\)
Vì \(x>0, y\geq 0\Rightarrow x-y=x^3+y^3>0\Rightarrow x>y\)
Từ \(x>y\geq 0\Rightarrow y[2y^2+x(x-y)]\geq 0\)
Do đó: \((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)-(x^3+y^3)(x^2+y^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)[1-(x^2+y^2)]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 1-(x^2+y^2)\geq 0\Leftrightarrow A=x^2+y^2\leq 1\)
Vậy \(A_{\max}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(y=0, x=1\)
cách đổi hình nền kiểu gì vậy ?