Chứng minh với mọi m,n,p,q ta đều có: m2 + n2 + p2 + q2 + 1 ≥ m( n + p + q +1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PM
4
22 tháng 11 2016
T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)
Ta có
\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)
\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)
\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)
\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)
Cộng vế theo vế được
m2 + n2 + p2 + q2 + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)
TH
2
PN
13 tháng 2 2016
Chú ý (không ghi): bạn dụng dấu ngoặc nhọn cho hệ phương trình ở cuối bài
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{m}{2}-n\right)^2+\left(\frac{m}{2}-p\right)^2+\left(\frac{m}{2}-q\right)^2+\left(\frac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) luôn đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\) được chứng minh.
Dấu \(''=''\) xảy ra khi
\(\frac{m}{2}-n=0\) \(n=\frac{m}{2}\)
\(\frac{m}{2}-p=0\) \(p=\frac{m}{2}\) \(m=2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow\)
\(\frac{m}{2}-q=0\) \(q=\frac{m}{2}\) \(n=p=q=1\)
\(\frac{m}{2}-1=0\) \(m=2\)
HT
1
30 tháng 9 2021
\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)
NH
2
2 tháng 5 2017
Ta có:
m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m
\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)
\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)
mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) mn+mp+mq+m
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1)
Vậy m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q
3 tháng 5 2017
Giải:
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)
LP
1
23 tháng 9 2021
\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)
\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)
NM
2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
15 tháng 3 2021
\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm.
15 tháng 3 2021
m2 + n2 + 1/4 ≥ 2mn + m - n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0
<=> ( 2m - 2n + 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm
QN
0
CP
1
HM
10 tháng 6 2017
GỌI \(\left(m^2n+2m,mn+1\right)=d\)
TA CÓ : MN + 1 CHIA HẾT CHO d
=> m^2n+m chia hết cho d
=> m chia hết cho d
=> mn chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc Z
=> d = 1
=> đpcm
NN
3
24 tháng 5 2015
n(n+1)()2n+1) = n(n+1)(n+2 + n - 1) = n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1)
n(n+1)(n+2) ; (n-1).n.(n+1) đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên các tích đó chia hết 6
=> n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1) chia hết cho 6
=> n(n+1)()2n+1) chia hết cho 6
Với mọi m;n;p;q dương nhé bạn!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(\dfrac{m^2}{4}+n^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2n^2}{4}}=mn\)
\(\)\(\dfrac{m^2}{4}+p^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2p^2}{4}}=mp\)
\(\dfrac{m^2}{4}+q^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2q^2}{4}}=mq\)
\(\dfrac{m^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{m^2}{4}}=m\)
Cộng theo vế: \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)