CMR: \(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\) với a, b, c > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 12 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\)
\(a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\)
\(\Rightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\)
\(\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3\)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} 4(b^3+c^3)\geq (b+c)^3\\ 4(c^3+a^3)\geq (c+a)^3\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(8(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
1 tháng 3 2018
Xét : a^3+b^3-ab.(a+b)
= (a+b).(a^2-ab+b^2)-ab.(a+b)
= (a+b).(a^2-2ab+b^2)
= (a+b).(a-b)^2 >= 0 ( vì a;b > 0 )
=> a^3+b^3 >= ab.(a+b)
<=> (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab.(a+b) < = a^3+b^3+3a^3+3b^3 = 4a^3+4b^3
Tương tự ........
=> (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 < = 8a^3+8b^3+8c^3 = 8.(a^3+b^3+c^3)
=> ĐPCM
Tk mk nha
16 tháng 4 2020
*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*
Biến đổi thành
4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0
xét 4(a3+b3)-(a+b)3 =(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]
=3(a+b)(a-b)2 >=0
tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)
=> đpcm
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
KN
22 tháng 1 2020
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
5 tháng 12 2018
\(VT\ge\sum\left(\dfrac{a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{a^3}{\sum a+a}\right)=\sum\dfrac{a^3}{3+a}\)
Ta có BĐT phụ :
\(\dfrac{a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{16}\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(16a+21\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a>0)
Áp dụng BĐT (*) ta có :
\(\sum\dfrac{a^3}{3+a}\ge\dfrac{11\sum a-21}{16}=\dfrac{33-21}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
5 tháng 12 2018
nhầm rồi , mình sorry , \(VT\ge\sum\left(\dfrac{2a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{2a^3}{3+a}\right)\)
bạn chọn BĐT phụ là :
\(\dfrac{2a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{8}\)
1 tháng 1 2020
<3
Cần CM: \(\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}a-\frac{27}{16}\)\(\left(0< a< 1\right)\)
thaajt vậy, bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\left(15a^2-38a+27\right)\ge0\) đúng
\(\Sigma\frac{a}{\left(b+c\right)^3}=\Sigma\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}\left(a+b+c\right)-\frac{81}{16}=\frac{27}{8}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
LM
16 tháng 7 2017
Bạn xem lời giải ở đây nhé https://olm.vn/hoi-dap/question/960694.html
Ta biến đổi: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)
Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)
\(=3\left(x+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Tương tự với: \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)
Ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)