cho số nguyên dương n thoả mãn \(2+2\sqrt{12n^2+1}\)là số nguyên.Chứng minh
\(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 2 2017
Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)
Để M là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 + 1 = (2k -1)2 (k \(\in\) N)
<=> 12n2 + 1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k - 1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3
TH1 : k ⋮ 3 => n2 =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1) Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x2 => k = 3x2
và đặt k - 1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 + 1 = 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1
TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :
=> n2 = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\) Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z2
=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> M là một số chính phương ( đpcm )
28 tháng 4 2017
\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)
\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)
\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)
TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)
Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)
Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)
Ta có đpcm
TH2(tương tự):\(k=3q+1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Lời giải:
Để \(2+2\sqrt{12n^2+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(12n^2+1\). phải là số chính phương lẻ.
Đặt \(12n^2+1=(2a+1)^2(a\in\mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow 12n^2=4a^2+4a\Leftrightarrow 3n^2=a(a+1)\)
Vì \(a(a+1)=3n^2\vdots 3\) nên xét các TH sau:
TH1: \(a\vdots 3\). Đặt \(a=3k\)
Ta có: \(3n^2=a(a+1)=3k(3k+1)\)
\(\Leftrightarrow n^2=k(3k+1)\)
Dễ thấy $(k,3k+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì bản thân mỗi số đó là scp \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k+1=v^2\end{matrix}\right.\) \((u,v\in\mathbb{Z})\)
\(\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2a+1)=4a+4=4.3k+4\)
\(=4(v^2-1)+4=(2v)^2\) là số chính phương (đpcm)
TH2: \(a+1\vdots 3\). Đặt \(a+1=3k\)
\(\Rightarrow n^2=(3k-1)k\). Dễ thấy $(3k-1,k)=1$ nên \(\left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k-1=v^2\end{matrix}\right.(u,v\in\mathbb{Z})\)
\(\Rightarrow 3u^2-1=v^2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv 2\pmod 3\) (vô lý- loại)
Vậy..........
FV
0
NK
0
Đặt T là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ.
Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\)
\(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)
\(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)
\(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\)
+) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\)
Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\)
\(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.
+) Nếu \(k-1⋮3\)
\(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)mà \(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z2 và \(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\)
\(\Rightarrow T=...=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương
=> ĐPCM