\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 8 2021
\(VT=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)
\(VP=5-\left(x+1\right)^2\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)
NM
1
3 tháng 12 2023
ĐKXĐ: \(x\in R\)
\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)
=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x+1-5=0\)
=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}-2+\sqrt{5x^2+10x+14}-3+\left(x+1\right)^2=0\)
=>\(\dfrac{3x^2+6x+7-4}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+14-9}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)
=>
\(\dfrac{3x^2+6x+3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)
=>\(\dfrac{3\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x+1\right)^2}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x+1\right)^2}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)
=>\(\left(x+1\right)^2\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+1\right)=0\)
=>\(\left(x+1\right)^2=0\)
=>x+1=0
=>x=-1(nhận)
TT
26 tháng 9 2019
Ta có : VT = \(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)
VP=5-(x+1)^2 \(\le\) 5
Đẳng thức xảy ra khi hai vế cùng bằng 5
Khi đó (x+1)^2 =0
Suy ra x=-1
LM
5
15 tháng 10 2016
Ta có : \(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=-x^2-2x+4\)
- Trước hết ta xét xem \(f\left(x\right)=-x^2-2x+4\) là hàm số đồng biến hay nghịch biến.
Xét \(x_1< x_2< -1\), khi đó : \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-x_1^2-2x_1+4+x_2^2+2x_2-4=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1+2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\). Vậy f(x) đồng biến với mọi \(x< -1\)
Tương tự ta chứng minh được :
- f(x) nghịch biến với mọi x > -1
- \(f'\left(x\right)=\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\) đồng biến với mọi x > -1
- \(f'\left(x\right)=\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\) nghịch biến với mọi x < -1
+ Với x = -1 thì VT = VP => là nghiệm của pt trên
+ Với x < -1 thì do \(f'\left(x\right)\) nghịch biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\) đồng biến nên VP < 5 => vô lí
+ Với x > -1 thì do \(f'\left(x\right)\) đồng biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\)nghịch biến nên VP < 5 => vô lí
Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
15 tháng 10 2016
Ta có
\(\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}\ge2\)
\(\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge3\)
4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 \(\le5\)
Ta có VT \(\ge5\);VP \(\le\)5
Nên dấu bằng xảy ra khi x = - 1
TG
2
12 tháng 10 2018
\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)
Ta có: \(VT=\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\)
\(=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+3}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}\)
\(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+\sqrt{9}\)
Mặt khác: \(VP=4-2x-x^2=-\left(x^2+2x+1\right)+5=5-\left(x+1\right)^2\le5\)
Hai vế của phương trình bằng 5
<=> x + 1 = 0
<=> x = -1
Vậy x = - 1 là nghiệm của phương trình
P/s: Đây là cách giải của mình, mong các bạn góp ý. Cảm ơn
TN
1
7 tháng 10 2018
Ta có \(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+4}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\left(1\right)\)\(4-2x-x^2=-\left(x^2+2x-4\right)=-\left(x^2+2x+1-5\right)=-\left(x+1\right)^2+5\le5\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow5\le-\left(x-1\right)^2+5\le5\Rightarrow-\left(x-1\right)^2+5=5\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\)
NA
1
9 tháng 2 2017
Ta có: \(VT=\sqrt{3x^2+6x+3+4}+\sqrt{5x^2+10x+5+9}\)
\(=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+4}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}\)
\(=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\)
\(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\left(1\right)\)
Lại có \(VP=4-2x-x^2=5-\left(x^2+2x+1\right)=5-\left(x+1\right)^2\le5\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(VT\ge5\ge VP\) xảy ra khi \(VT=VP=5\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=5\\4-2x-x^2=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=-1\)
NM
1
23 tháng 3 2020
\( VT = \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \\ \Rightarrow VP \ge 2 + 3 = 5\forall x \ge - 1\left( 1 \right)\\ VP = 5 - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 5\forall x \ge - 1\left( 2 \right) \)
Từ $(1)$ và $(2)$ để \(VP=VT=5 \Leftrightarrow x =-1\)
KT
1