Cho: \(abcd\ne0,b^2=ca\)và \(c^2=bd\). Chứng minh tỉ lệ thức \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (1)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a.b.c}{b.c.d}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\left(đpcm\right)\)
\(\hept{\begin{cases}b^2=ca\\c^2=bd\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow k^3=\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)(TC DTSBN) (1)
Ta lại có \(k^3=k.k.k=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{abc}{bcd}=\frac{a}{d}\) (2)
Từ (1) ; (2) => \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\) (đpcm)
vì b2 = ac nên \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
vì c2=bd nên \(\frac{c}{d}=\frac{b}{c}\)
suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (1)
suy ra \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{2b^3}{2c^3}=\frac{3c^3}{3d^3}=\frac{a^3+2b^3+3c^3}{b^3+2c^3+3d^3}\)(2)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{2b}{2c}=\frac{3c}{3d}=\frac{a+2b+3c}{b+2c+3d}\)suy ra \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\left(\frac{a+2b+3c}{b+2c+3d}\right)^3\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3\left(1\right)\)
\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\left(2\right)\)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\left(đpcm\right)\)
Bài làm :
Ta có : \(b^2=ca\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\), \(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\) ( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau ) (1)
Lại có : \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a.b.c}{b.c.d}=\frac{a}{d}\)
( Do \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt !!
Mỗi tỉ số đã cho bằng \(\frac{a+b+c}{b+c+d}\). Tích của ba tỉ số đã cho bằng \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\).
Mặt khác tích đó cũng bằng : \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)
Vậy : ...
Bạn tham khảo hình ảnh phần câu hỏi tương tự nhé :
Hok tốt
Từ giả thiết suy ra: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c};\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)( 1 )
Từ ( 1 ) suy ra : \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a.b.c}{b.c.d}=\frac{a}{d}\)( 2 )
Cũng từ ( 1 ) suy ra: \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)( 3 )
Từ ( 2 ) và ( 3 ) suy ra: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{b}\)