\(x^2+y^2=1\) Chứng minh rằng -5\(\le3x+4y\le5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
0
I
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((3x+4\sqrt{1-x^2})^2\leq (3^2+4^2)[x^2+(1-x^2)]\)
\(\Leftrightarrow (3x+4\sqrt{1-x^2})^2\leq 3^2+4^2=25\)
\(\Rightarrow -\sqrt{25}\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq \sqrt{25}\)
hay \(-5\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq 5\) (đpcm)
NB
1
TN
7 tháng 1 2020
Theo C-S:
\(x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
\(\le\sqrt{\left(1-y^2+y^2\right)\left(1-x^2+x^2\right)}=1\)
Lại có \(3x+4y\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3^2+4^2\right)}\le\sqrt{5^2}=5\)
DN
11 tháng 4 2016
vì x+4y=1 nên x=1-4y (1)
ta có : x^2+4y^2≥1/5
=> x^2+4y^2-1/5 ≥0 (2)
thay (1) vào (2) ta có:(1-4y)^2+4y^2-1/5 ≥ 0
<=>1-8y +16y^2 + 4y^2 - 1/5 ≥ 0
<=>20y^2 - 8y + 4/5 ≥ 0
<=>5(4y^2 - 8/5y + 4/25) ≥ 0
<=>5(2y-8/20)^2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy với x+4y=1 thì x^2+4y^2≥1/5 ;dấu = xảy ra khi x=y=1/5
16 tháng 4 2016
vì x+4y=1 nên x=1-4y (1)
ta có : x^2+4y^2≥1/5
=> x^2+4y^2-1/5 ≥0 (2)
thay (1) vào (2) ta có:(1-4y)^2+4y^2-1/5 ≥ 0
<=>1-8y +16y^2 + 4y^2 - 1/5 ≥ 0
<=>20y^2 - 8y + 4/5 ≥ 0
<=>5(4y^2 - 8/5y + 4/25) ≥ 0
<=>5(2y-8/20)^2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy với x+4y=1 thì x^2+4y^2≥1/5 ;dấu = xảy ra khi x=y=1/5
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2019
Do \(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)+xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)-xyz+xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge2\)
Mặt khác \(x+y+z=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=9\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+zx\right)\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 10 2021
Bài 1:
a. \(=[(3x+(4y-5z)][3x-(4y-5z)]=(3x)^2-(4y-5z)^2\)
\(=9x^2-(16y^2-40yz+25z^2)=9x^2-16y^2+40yz-25z^2\)
b.
\(=(3a-1)^2+2(3a-1)(3a+1)+(3a+1)^2=[(3a-1)+(3a+1)]^2=(6a)^2=36a^2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 10 2021
Bài 2:
\((x+y+z)^3=[(x+y)+z]^3=(x+y)^3+3(x+y)^2z+3(x+y)z^2+z^3\)
\(=[x^3+y^3+3xy(x+y)]+3(x+y)z(x+y+z)+z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3(x+y)z(x+y+z)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(xy+zx+zy+z^2)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(z+x)(z+y)\) (đpcm)
TM
1
NB
9 tháng 1 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có:
\(\left|x-y\right|=\left|x.1+2y.\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\le\sqrt{\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) vì \(x^2+4y^2=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x^2+y^2)(3^2+4^2)\geq (3x+4y)^2\)
\(\Leftrightarrow 3^2+4^2\geq (3x+4y)^2\)
\(\Leftrightarrow 25\geq (3x+4y)^2\)
\(\Leftrightarrow -5\leq 3x+4y\leq 5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\). Kết hợp với \(x^2+y^2=1\Rightarrow (x,y)=\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right); \left(\frac{-3}{5};\frac{-4}{5}\right)\)
Tks