Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 20212x - 22. 2021x + 2021 - m= 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 ≥ \(\dfrac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
4 tháng 5 2018
Đáp án A
Ghi nhớ: Nếu hàm số 
liên tục trên đoạn 
và 
thì phương trình 
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng 
.
CM
9 tháng 8 2019
Đáp án B
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với:
Đặt t = x 2 ≥ 1 , theo bài ra ta có 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x 1 2 < x 2 2 ≤ 9 ⇒ t ∈ 1 ; 9
Xét hàm số f ( t ) = 2 - ( t - 1 ) . log ( t + 1 ) trên đoạn 1 ; 9 .
Ta có
⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến trên đoạn 1 ; 9 . Khi đó f ( 1 ) ≤ f ( t ) ≤ 9 hay 1 ≤ f ( t ) ≤ 4 .
Đặt u = 2 ( x 2 - 1 ) . log ( x 2 + 1 ) ⇒ u ∈ 0 ; 4 . Khi đó phương trình * trở thành u 2 - 2 m . u + 2 m + 8 = 0 1 .
Nhận thấy u = 1 không phải là nghiệm của phương trình 1 . Với u ≠ 1 thì phương trình 1 tương đương với u 2 + 8 = 2 m ( u - 1 ) ⇔ 2 m = u 2 + 8 u - 1 2
Xét hàm số g u = u 2 + 8 u - 1 trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .
Ta có g ' u = u 2 - 2 u - 8 u - 1 2 ; g ' ( u ) = 0 ⇔ [ u = - 2 u = 4 . Mà u ∈ 0 ; 4 \ 1 nên u = 4 .
Mặt khác, có g ( 0 ) = - 8 ; g ( 4 ) = 8 ; lim x → 1 - g ( u ) = - ∞ ; lim x → 1 + g ( u ) = = ∞ .
Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .
Suy ra
Mặt khác m ∈ ℤ , m ∈ - 2017 ; 2017 nên suy ra
Vậy có tất cả 2017 - 4 + 1 + - 4 + 2017 + 1 = 4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.
CM
3 tháng 10 2019
Đáp án B
Điều kiện x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 1 x ≥ 1 .
Phương trình đã cho tương đương với:
2 x 2 − 1 log 2 x 2 + 1 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0
⇔ 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 2 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0 *
Đặt t = x 2 ≥ 1 , theo bài ra ta có
1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x 1 2 < x 2 2 ≤ 9 ⇒ t ∈ 1 ; 9 .
Xét hàm số f t = 2 − t − 1 . log t + 1 trên đoạn 1 ; 9 .
Ta có f ' t = log t + 1 2 t − 1 + 2 t − 1 t + 1 . ln 10 > 0, ∀ ∈ 0 ; 9 ⇒ Hàm số f t đồng biến trên đoạn 1 ; 9 . Khi đó f 1 ≤ f t ≤ 9 hay 0 ≤ f t ≤ 4 .
Đặt u = 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 ⇒ u ∈ 0 ; 4 . Khi đó phương trình (*) trở thành u 2 − 2 m . u + 2 m + 8 = 0 1 .
Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình (1). Với u ≠ 1 thì phương trình (1) tương đương với
u 2 + 8 = 2 m u − 1 ⇔ 2 m = u 2 + 8 u − 1 2
Xét hàm số g u = u 2 + 8 u − 1 trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .
Ta có g ' u = u 2 − 2 u − 8 u − 1 2 ; g ' u = 0 ⇔ u = 4 u = − 2 . Mà u ∈ 0 ; 4 \ 1 nên u=4.
Mặt khác, có g 0 = − 8 ; g 4 = 8 ; lim x → 1 − g u = − ∞ ; lim x → 1 + g u = + ∞ .
Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán <=>Phương trình (2) có nghiệm duy nhất trên đoạn 0 ; 4 \ 1 . Suy ra 2 m ≥ 8 2 m ≤ − 8 ⇔ m ≥ 4 m ≤ − 4 .
Mặt khác
m
∈
ℤ
,
m
∈
−
2017
;
2017
nên suy ra
4
≤
m
≤
2017
−
2017
≤
m
≤
−
4
.
Vậy có tất cả 2017 − 4 + 1 + − 4 + 2017 + 1 = 4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.
\(2021^x=t>0\Rightarrow t^2-22t+2021-m=0\)
Pt có 2 nghiệm nên (1) có 2 nghiệm dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=121-\left(2021-m\right)\ge0\\t_1+t_2=22>0\\t_1t_2=2021-m>0\end{matrix}\right.\) (1)
\(x=log_{2021}t\Rightarrow x_1+x_2=log_{2021}t_1+log_{2021}t_2=log_{2021}\left(t_1t_2\right)\)
\(\Rightarrow log_{2021}\left(t_1t_2\right)\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow t_1t_2\ge\sqrt{2021}\)
\(\Rightarrow2021-m\ge\sqrt{2021}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow m\)