Question

[Lý Thuận Giang Hà]

Câu 1 : Giải hệ phương trình sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\x^4+y^4+x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

Câu 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^2 + 2y^2 + 2xy + 3y - 4 = 0\)

Câu 3: Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2\) và \(a + b + c = abc \) thì ta có \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\)

Answer 1

[Unruly Kid]

3) \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=4-2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)=4-2=2\)

Answer 2

[Unruly Kid]

1) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\x^4+y^4+x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left(x^2+y^2;xy\right)=\left(a;b\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\a^2-b^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\\left(a-b\right)\left(a+b\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\a-b=3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\xy=2\end{matrix}\right.\)

Tới đây tiếp tục thay vào giải, lười rồi :D