Question

[Út My]

C​ho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi O là trọng tâm của tam giác BCD , I là trung điểm của OA. Tính khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên khoảng cách từ trọng tậm $O$ đến các mặt bên là như nhau:

Lấy $H$ là trung điểm của $BC$, Vì tam giác $BCD$ đều nên

\(DH\perp BC\Rightarrow DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\(\Rightarrow HO=\frac{1}{3}DH=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Do đó, \(AO=\sqrt{AH^2-HO^2}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)

\(\Rightarrow d(I,(BCD))=IO=\frac{AO}{2}=\frac{\sqrt{6}a}{6}\)

Kẻ \(OT\perp AH\Rightarrow d(O,(ABC))=OT=\sqrt{\frac{AO^2.HO^2}{AO^2+HO^2}}=\frac{\sqrt{6}a}{9}\)

\(\frac{d(I,(ABC))}{d(O,(ABC))}=\frac{AI}{IO}=\frac{1}{2}\Rightarrow d(I,(ABC))=\frac{\sqrt{6}a}{18}\)

Hay \(d(I,(ABC))=d(I,(ABD))=d(I,(ACD))=\frac{\sqrt{6}a}{18}\)