Bài 1. Chứng minh rằng
1) 77n+1+77n chia hết cho 78
2) n2 (n-1) + (n2-n) chia hết cho 6
3) (2n+1)3-(2n+1) chia hết cho 8
Bài 2. tìm các cặp xy số nguyên thỏa mãn
a) x + y = xy
b) xy -x + 2( y -1 ) = 13
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
a, \(x+y=xy\)
\(\Rightarrow x+y-xy=0\)
\(\Rightarrow-xy+x+y-1=-1\)
\(\Rightarrow-x.\left(y-1\right)+\left(y-1\right)=-1\)
\(\Rightarrow\left(y-1\right).\left(1-x\right)=-1\)
\(\Rightarrow y-1;1-x\inƯ\left(-1\right)\)
\(\Rightarrow y-1;1-x\in\left\{-1;1\right\}\)
Ta có bảng sau:
\(1-x\) | -1 | 1 |
\(y-1\) | 1 | -1 |
x | 2 | 0 |
y | 2 | 0 |
Chọn or loại | Chọn | Chọn |
Vậy.............
b, \(xy-x+2\left(y-1\right)=13\)
\(\Rightarrow x.\left(y-1\right)+2\left(y-1\right)=13\)
\(\Rightarrow\left(y-1\right)\left(x+2\right)=13\)
\(\Rightarrow y-1;x+2\inƯ\left(13\right)\)
\(\Rightarrow y-1;x+2\in\left\{-13;-1;1;13\right\}\)
Ta có bảng sau:
\(x+2\) | -13 | -1 | 1 | 13 |
\(y-1\) | -1 | -13 | 13 | 1 |
x | -15 | -3 | -1 | 11 |
y | 0 | -12 | 14 | 2 |
Chọn or loại | Chọn | Chọn | Chọn | Chọn |
Vậy.............
Chúc bạn học tốt!!!
B1:
a) \(77^{n+1}+77^n=77^n.77+77^n=77^n.78\) \(⋮\) \(78\)
b) \(n^2\left(n-1\right)+\left(n^2-n\right)\)
= \(n^2\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)\)
= \(\left(n-1\right).n\left(n+1\right)\)
Dấu hiệu chia hết cho 6 là tích của 3 số liên tiếp sẽ chia hết cho 6. Ta thấy KQ có tích \(\left(n-1\right).n\left(n+1\right)\) là 3 số liên tiếp nên \(\left(n-1\right).n\left(n+1\right)\) \(⋮\) 6
c) \(\left(2n+1\right)^3-\left(2n+1\right)\)
= \(\left(2n+1\right)\left[\left(2n+1\right)^2-1\right]\)
= \(\left(2n+1\right)\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+1\right)\)
= \(\left(2n+1\right)^2.2n.\left(2n+2\right)\)
= \(\left(2n+1\right)^2.4n.\left(n+1\right)\)
Ta thấy tích trên có một số hạng là 4n \(⋮\) 2 và 4
Dấu hiệu chia hết cho 8 là chia hết cho 2 và 4
Nên \(\left(2n+1\right)^2.4n.\left(n+1\right)\) \(⋮\) 8
Hay \(\left(2n+1\right)^3-\left(2n+1\right)\) \(⋮\) 8
\(2005^3-1=\left(2005-1\right)\left(2005^2+2005+1\right)=2004\times\left(2005^2+2005+1\right)⋮2004\left(\text{đ}pcm\right)\)
\(2005^3+125=\left(2005+5\right)\left(2005^2-2005\times5+5^2\right)=2010\times\left(2005^2-2005\times5+5^2\right)⋮2010\)
\(x^6+1=\left(x^2+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)⋮x^2+1\left(\text{đ}pcm\right)\)
\(x^6-y^6=\left(x^2-y^2\right)\left(x^4+x^2y^2+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^4+x^2y^2+y^4\right)⋮x-y;x+y\left(\text{đ}pcm\right)\)
Bài 1:
a, \(77^{n+1}=77^n.77+77^n\)
\(=77^n\left(77+1\right)=77^n.78⋮78\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b, \(n^2\left(n-1\right)+\left(n^2-n\right)\)
\(=n^2\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)\)
\(=\left(n^2+n\right)\left(n-1\right)=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Vì 3 số liên tiếp chia hết cho 2, 3
Mà ( 2; 3 ) = 1
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮6\)
\(\Rightarrowđpcm\)
c, tương tự
Bài 2:
a, \(x+y=xy\)
\(\Leftrightarrow x-xy+y=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-y\right)-1+y=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\1-y=-1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\1-y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy x = y = 2 hoặc x = y = 0
b, tương tự