Question

[Nguyễn Tùng Lâm]

a) 11^n+2+12^n+1 chia hết cho 133

b) 5^n+2+26*5^n+8^2n+1 chia hết cho 59

Answer 1

[Quách Trần Gia Lạc]

a) \(11^{n+2}+12^{2n+1}\)

= \(11^n.121+12^{2n}.12\)

= \(11^n.\left(133-12\right)+144^n.12\)

= \(11^n.\left(133-12\right)+\left(133+11\right)^n.12\) (1)

Ta có: \(\left(133+11\right)^n=133^n+133^{n-1}.11+...+133.11^{n-1}+11^n⋮133\)(vì mỗi số hạng đều chứa thừa số 133)

Ta kí hiệu số chia hết cho 133 là B (133).

Do đó \(\left(133+11\right)^n=B\left(133\right)+11^n\)

Thay vào (1), ta được:

\(11^n.133-11^n.12+\left[B\left(133\right)+11^n\right].12\)

= \(B\left(133\right)-11^n.12+B\left(133\right)+11^n.12\)

= B (133)

Vậy: \(11^{n+2}+12^{2n+1}⋮133\).

b) \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)

= \(5^n.25+26.5^n+8^{2n}.8\)

= \(5^n.\left(25+26\right)+64^n.8\)

= \(5^n.\left(59-8\right)+\left(59+5\right)^n.8\) (1)

Ta có: \(\left(59+5\right)^n=59^n+59^{n-1}.5+...+59.5^{n-1}+5^n⋮59\)(vì mỗi số hạng đều chứa thừa số 59)

Ta kí hiệu số chia hết cho 59 là B (59).

Do đó \(\left(59+5\right)^n=B\left(59\right)+5^n\)

Thay vào (1), ta được:

\(5^n.59-5^n.8+\left[B\left(59\right)+5^n\right].8\)

= \(B\left(59\right)-5^n.8+B\left(59\right)+5^n.8\)

= B (59)

Vậy: \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)

(Đề bài còn thiếu \(n\in N\))