Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CHứng minh \(\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
áp dụng dbt cosi cho 2 số:\(\frac{a^3}{b^2}\)va b ta duoc :
\(\frac{a^3}{b^2}\)+a\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^3}{b^2}.a}\)=2\(\frac{a^2}{b}\)
CMTT:\(\frac{b^3}{c^2}\)+b\(\ge\)2\(\frac{b^2}{c}\)
\(\frac{c^3}{a^2}\)+c\(\ge\)2\(\frac{c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)+(a+b+c)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\))
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)) - (a+b+c) (1)
Ap dụng bdt cosi cho các số dương , ta được:
\(\frac{a^2}{b}\)+\(b\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}\)=2a
CMTT: \(\frac{b^2}{c}\)+c\(\ge\)2b
\(\frac{c^2}{a}\)+a\(\ge\)2c
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)+(a+b+c) \(\ge\)2(a+b+c)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a+b+c
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) _ (a + b + c ) \(\ge\)0
Do Đó:TỪ (1) ta co : \(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)\(\ge\)(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) )
Xét hiệu hai vế:
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left(a+b+c-b-c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2}{c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2}{a^2}\ge0\)
BĐT này đúng với mọi a,b,c > 0 nên ta có Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi a =b =c
P/s: Toán 7 gì mà khó thế nhỉ??Mình cũng không chắc đâu nha!
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Áp dụng Svac
\(\Sigma\frac{a^3}{b+c}=\Sigma\frac{a^4}{ab+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
"=" tại a=b=c
E thử làm cách khác ạ:))
Không mất tính tổng quát,giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Trebysev ta có:
\(a^2\cdot\frac{a}{b+c}+b^2\cdot\frac{b}{a+c}+c^2\cdot\frac{c}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(nesbitt\right)\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
By Cauchy-Schwarz, we have:
\(VT\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b+b^2c+c^2a}\)
We will prove: \(a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+3abc\le a^3+b^3+c^3+3abc\)
By Schur, we have: \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a\right)\)
So we're only need to prove: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\)
It is true by AM-GM ineq', so we have Q.E.D.
P/s: Em thử giải bài này bằng tiếng Anh (để tự luyện kĩ năng tiếng anh, tí em giải lại theo tiếng việt)
Bài này đăng nhiều trên OLM rồi, lời giải vắn tắt:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\)
\(\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)(bđt cô - si)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng từng vế của các bđt trên:
\(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dễ c/m: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
hay \(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
Xét: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\\b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2bc\\c^2+d^2\ge2\sqrt{c^2d^2}=2cd\\d^2+a^2\ge2\sqrt{d^2a^2}=2da\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\\\frac{bc^2}{b^2+c^2}\le\frac{bc^2}{2bc}=\frac{c}{2}\\\frac{cd^2}{c^2+d^2}\le\frac{cd^2}{2cd}=\frac{d}{2}\\\frac{da^2}{d^2+a^2}\le\frac{da^2}{2da}=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\\b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\\c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}\ge c-\frac{d}{2}\\d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge d-\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge a+b+c+d-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{d}{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) ( đpcm )
Cách của bạn Minh dài quá mình xin làm cách ngắn hơn:
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề:
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}\ge\frac{2x-y}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^3-\left(x^2+y^2\right)\left(2x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y-x\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đó ta có: \(\left\{\begin{matrix}\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge\frac{2a-b}{2}\\\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge\frac{2b-c}{2}\\\frac{c^3}{c^2+d^2}\ge\frac{2c-d}{2}\\\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2d-a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng 4 cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2a-b}{2}+\frac{2b-c}{2}+\frac{2c-d}{2}+\frac{2d-a}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}\)