Cm đẳng thức:(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
1
25 tháng 5 2022
\(\left(a+b+c\right)^3=\left[\left(a+b\right)+c\right]^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+3\cdot c\cdot\left(a+b\right)^2+3\cdot c^2\left(a+b\right)+c^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3c\left(a^2+2ab+b^2\right)+3ac^2+3bc^2+c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
KN
11 tháng 7 2016
thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có :
a^3+b^3+c^3-3abc=0
<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0
câu 2:<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0
<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0
<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)...
<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
luôn đúng do a+b+c=0
11 tháng 8 2017
mk viết viết đề nha
=a3+3a2b +3ab2+b3+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2+c3
= a3+b3+c3+[ 3a2b+3a2b+3(a+b)3.c+3.(a+b).c2]
= a3+b3+c3+[3ab(a+b)+3(a+b)2c+3(a+b)c2]
= a3+b3+c3+3(a+b)[ ab+(a+b)c+c2]
= a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
= a3+b3+c3+3(a+b)[a(b+c)+c.(b+c)]
= a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
=> dpcm
LT
1
VT
31 tháng 8 2016
ta có (a+b)^3 =a^3 +b^3 +3ab(a+b)
=>[(a+b) +c ]^3 =(a+b)^3 +c^3 +3c(a+b)[a+b+c)
[(a+b) +c ]^3 = a^3+b^3 +3ab(a+b) +3c(a+b)(a+b+c)+c^3
[(a+b) +c ]^3 =a^3+b^3+c^3 +3(a+b)[ab+c.(a+b+c) ]
[(a+b) +c ]^3 = a^3+b^3+c^3 +3(a+b)[ ab+ca+cb+c^2]
[(a+b) +c ]^3 = a^3+b^3+c^3 +3(a+b)[ a(c+b) +c(b+c)]
[(a+b) +c ]^3 =a^3+b^3+c^3 +3(a+b)(b+c)(a+c) (vế trái)
Điều cần chứng minh giờ thì đã sáng tỏ! ^_^
HN
0
17 tháng 6 2016
(a+b+c)3=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
=a3+b3+3ab.(a+b)+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
=a3+b3+c3+3(a+b)[a.(b+c)+c.(b+c)]
=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)
=>dpcm
17 tháng 6 2016
P=12(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^16+1)
=>2P=24(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)(5^16+1)
=(52-1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)
=(54-1)(54+1)(58+1)(516+1)
=(58-1)(58+1)(516+1)
=(516-1)(516+1)
=532-1
==>P=(532-1)/2
DT
0
15 tháng 8 2016
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta có \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}.\)
Mặt khác, \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), do đó ta suy ra \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2.\)
15 tháng 8 2016
P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\left[a^2+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]-\left(a+b+c\right)^3\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3+\left(3a+3b\right)\cdot\left(b+c\right)\cdot\left(c+a\right)\right)-\\ \left(\left(a+b\right)^2+3c\cdot\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)\cdot c^2+c^3\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3+\left(3ab+3ac+3b^2+3bc\right)\cdot\left(c+a\right)\right)-\\ \left(a^2+3a^2b+3ab^2+b^3+3c\left(a^2+2ab+b^2\right)+3ac^2+3bc^2+c^3\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3+3abc+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3ab^2+3bc^2\cdot3bc^2+3abc\right)-\\ \left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3+6abc+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3b^2c+3ab^2+3bc^2\right)-\\ a^3-3a^2b-3ab^2-b^3-3a^2c-6abc-3b^2c-3ac^2-3bc^2-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+6abc+3a^2+3ac^2+3a^2c+3ab^2+3bc^2-a^3-\\ 3a^2b-3ab^2-b^3-3a^2c-6abc-3b^2c-3ac^2-3bc^2-c^3\)
\(=\left(a^3-a^3\right)+\left(b^3-b^3\right)+\left(c^3-c^3\right)+\left(6abc-6abc\right)+\left(3a^2b-3a^2b\right)\\ +\left(3ac^2-3ac^2\right)+\left(3a^2c-3a^2c\right)+\left(3ab^2-3ab^2\right)+\left(3ab^2-3ab^2\right)+\left(3bc^2-3bc^2\right)\)
\(=0\)
=> \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
https://olm.vn/hoi-dap/question/161510.html