Bài 4: (3,5 điểm) Cho \(\Delta\) ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM.
a) Cho biết BC = 10 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM.
b) Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.
c) Chứng minh rằng: \(\Delta\) MAC = \(\Delta\) MBD và AC = BD.
d) Chứng minh rằng: AC + BC > 2CM.
a, Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go, ta có: \(BC^2=AC^2+AB^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=10^2-6^2=100-36\)
\(=64\Rightarrow AB=\sqrt{64}=8cm\left(AB>0\right)\)
Do CM là trung truyến => M là trung điểm AB => AM=BM=\(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.8=4cm\)
Vậy AB=8cm; BM=4cm
c, Ta dễ chứng minh \(\Delta MAC=\Delta MDB\left(c-g-c\right)\Rightarrow AC=DB\)
Vậy \(\Delta MAC=\Delta MBD;AC=BD\)
d, Trong \(\Delta BCD\) có: BD+BC>DC (bất đẳng thức tam giác) hay BD+BC>2CM (do M thuộc CD, CM=DM) (1)
Mà BD=AC (2)
Từ (1) và (2) => AC+BC>2CM
Vậy AC+BC>2CM
a )
Áp dụng định lý py - ta - go ta có :
\(AB^2=BC^2-AC^2\)
\(AB^2=10^2-6^2\)
\(AB^2=64\)
\(\Rightarrow AB=8cm\)
Vì \(CM\) là đường trung tuyến
\(\Rightarrow MB=MA=4cm\)
c )
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MBD\) có :
\(MA=MB\) ( câu a )
\(MC=MD\) ( 2 tia đối )
\(AMC=BMD\) ( đđ )
\(\Rightarrow\Delta MAC=\Delta MBD\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow MC=MD\) ( 2 cạnh tương ứng )
d )
Áp dụng BĐT tam giác ta có :
\(BC+BD>CD\)
\(\Rightarrow BC+AC>2CM\)