tìm min của 2016xy-yz-xz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
0
TV
0
25 tháng 5 2020
Thêm điều kiện x; y; z > 0
B1: Tìm điểm rơi
B2: Dùng cô - si
\(S=3\left(x^2+y^2\right)+z^2=\left(2x^2+\frac{1}{2}z^2\right)+\left(2y^2+\frac{1}{2}z^2\right)+\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge2.\sqrt{x^2z^2}+2.\sqrt{y^2z^2}+2.\sqrt{x^2y^2}\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{\sqrt{5}};z=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
22 tháng 8 2021
Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}.2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
H
0
27 tháng 8 2021
Ta có: \(2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
Theo BĐT Bunhacopxky: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Chứng minh tương tự:
\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\\ \sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)
Cộng vế theo vế, ta được: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\cdot1=\sqrt{5}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
27 tháng 8 2021
Bạn tham khảo nhé
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-cac-so-duong-xyz-thoa-man-xyz1cmrcan2x2xy2y2can2y2yz2z2can2z2zx2x2can5.182722154737
LV
0
áp dụng BĐT : ab \(\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\). dấu "=" xảy ra khi a = b. ta có :
xz+yz=z(x+y) \(\le\dfrac{z^2+\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{x^2+2xy+y^2+z^2}{2}\le xy+1\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=2\\z=x+y\end{matrix}\right.\)
ta có |xy| \(\le\dfrac{x^2+y^2}{2}< \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\le1\)
nếu xy\(\ge\)-1 \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|=\left|y\right|\\xy=-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) S= 2016xy - (yz+xz) \(\ge\) 2016xy - xy - 1 \(\Rightarrow\) 2015xy - 1 \(\Rightarrow\)S\(\ge\)-2016
vậy Min S = -2016 \(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=1;y=-1;z=0\\x=-1;y=1;z=0\end{matrix}\right.\)