Cho a,b,c thoả mãn abc=1. Tính S =1/1+a+ab+1/1+b+bc+1/1+c+ac
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thời gian có hạn copy cái này hộ mình vào google xem nha :
https://lazi.vn/quiz/d/16491/nhac-edm-la-loai-nhac-the-loai-gi
Vào xem xong các bạn nhận được 1 thẻ cào mệnh giá 100k nhận thưởng bằng cách nhắn tin vs mình và 1 phần thưởng bí mật là chiếc áo đá bóng,....
Có 300 giải nhanh nha đã có 241 người nhận rồi
OK ps
Với \(a=b=c=0\Leftrightarrow S=abc=0\)
Với \(a,b,c\ne0\)
Ta có \(\dfrac{a}{1+ab}=\dfrac{b}{1+bc}=\dfrac{c}{1+ac}\Leftrightarrow\dfrac{1+ab}{a}=\dfrac{1+bc}{b}=\dfrac{1+ac}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+b=\dfrac{1}{b}+c=\dfrac{1}{c}+a\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{c-a}{ac}\\b-c=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}\\c-a=\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-c}{bc}\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{ab\cdot bc\cdot ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}abc=1\\abc=-1\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có:
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}\right);\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{c+b}\right)\)
Cộng theo vế ta được:
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{c+b}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vì abc=1 nên:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{1}{abc+bc+b}=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{a}{abc.a+abc+ab}=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{ab}{1+ab+a}+\frac{a}{a+1+ab}=1\)
Chúc bạn học tốt.
\(S=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\)
Ta có:
\(1+c+ac=abc+c+ca=c\left(1+a+ab\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+c+ac}=\frac{1}{abc+c+ca}=\frac{1}{c\left(1+a+ab\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+b+bc}=\frac{a}{a+ab+abc}=\frac{a}{1+a+ab}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{1+a+ab}=\frac{a}{1+a+ab}\)
\(\Rightarrow S=\frac{c+ac+1}{c\left(1+a+ab\right)}\)
Mà \(c+ac+1=c\left(1+a+ab\right)\)
\(\Rightarrow S=\frac{c+ac+1}{c\left(1+a+ab\right)}=\frac{c\left(1+a+ab\right)}{c\left(1+a+ab\right)}=1\)
Vậy \(S=1\)