Cho tứ giác lồi ABCD, trong đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chứng minh rằng AB < AC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NB
1
Những câu hỏi liên quan
TH
0
VT
0
Y
1
28 tháng 1 2017
Chứng minh
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
Trong \(\Delta\)AOB có:
AB < AO + OB (1)
Trong \(\Delta\)OCD có:
CD < CO + OD (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)
hay AB + CD < AC + BD (3)
mà AB + BD \(\le\) AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC
Y
1
3 tháng 2 2017
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Trong \(\Delta\)AOB có: AB < AO + OB (1)
Trong \(\Delta\)OCD có: CD < CO + OD (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)
hay AB + CD < AC + BC (3)
mà AB + BD \(\le\) AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC
PV
0
NH
0
TT
1
24 tháng 6 2016
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Ta có:
OA+OB>AB ( bất đẳng thức tam giác)
OC+OD>CD ( bất đẳng thức tam giác)
=> AC+BD>AB+CD
Mà AC+CD>=AB+BD ( giả thiết)
=> 2AC+BD+CD>2AB+BD+CD
=> 2AC>2AB
=> AC>AB
DH
0
DH
1
31 tháng 7 2016
Ta có : TG ABCD lồi
=> BC < Cd
Mà AB + BC < AC + CD
=> BA < AC ( đpcm )
Ta có tứ giác ABCD bất kì.
Mà \(AB+BD\) \(\text{< AC}\)\(+CD\) \(\left(gt\right)\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABD\) có:
\(BD< AB+AD\) (trong tam giác thì tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)
Suy ra: \(AB+BD\) \(\text{< AB}< AB\)\(+AD+AB \) (cộng AB cho cả 2 vế)
\(AB+BD \)\(\text{< 2AB}\)\(+AD\left(2\right)\)
Xét \(\Delta ACD\) có:
\(\text{CD < AD+AC }\)
Suy ra: \(AC+CD\) \(< AD+AC+AC \)
\(AC+CD \)\(< 2AC+AD\left(3\right)\)
Thay \(\left(2\right),\left(3\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta có:
2AB+AD < 2AC+AD
\(\Leftrightarrow2AB< 2AC\)
\(\Leftrightarrow AB< AC\left(đpcm\right)\)