cho tam giác abc. cmr sin3\(\frac{A}{2}\)+ sin3\(\frac{B}{2}\)+sin3\(\frac{C}{2}\) \(\ge\frac{3r}{4R}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2016
\(VT=\frac{2\cos2\alpha.\cos\alpha}{2.\sin2\alpha\cos\alpha}.\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}-2\left(2\sin\alpha.\cos\alpha\right)^2\)
\(VT=1-2\left(\sin2\alpha\right)^2=\cos4\alpha\)
NV
16 tháng 5 2016
a/ Ta có: \(tan\alpha=5\Rightarrow cot\alpha=\frac{1}{5}\) . Đề: \(\frac{sin\alpha}{sin^3\alpha+cos^3\alpha}=\frac{\frac{1}{sin^2\alpha}}{1+\frac{cos^3\alpha}{sin^3\alpha}}=\frac{1+cot^2\alpha}{1+cot^3\alpha}=\frac{1+\left(\frac{1}{5}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{5}\right)^3}=\frac{65}{63}\)
b/ Ta có vế trái \(=\frac{sin^2x+cos^2x+cos^2x-sin^2x+\left(sinx+sin3x\right)}{1+2sinx}=\frac{2cos^2x+2.sin2x.cosx}{1+2sinx}=\frac{2cos^2x+4.sinx.cos^2x}{1+2sinx}=\frac{2cos^2x.\left(1+2sinx\right)}{1+2sinx}=2cos^2x\) ( = vế phải)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 6 2020
\(P=\frac{sin2a+2cos4a.sina}{cos4a+cosa}=\frac{2sina.cosa+2sina.cos4a}{cos4a+cosa}=\frac{2sina\left(cosa+cos4a\right)}{cos4a+cosa}=2sina\)
31 tháng 7 2016
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
28 tháng 7 2020
Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)
⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2
⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự
⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y
⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0
(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)
dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c
Lời giải
Mấu chốt của bài toán, ta sẽ CM \(r=4R\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{C}{2}\right)\)
Ta có:
Theo định lý hàm sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A\)
\(\Rightarrow 2R\sin A=BC=BN+NC=r\cot\left(\frac{B}{2}\right)+r\cot\left(\frac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\left ( \frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}} \right )=r\frac{\sin\frac{B+C}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\frac{\sin\frac{180^0-A}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}=r\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Do đó BĐT chuyển về CM:
\(\sin^3\frac{A}{2}+\sin^3\frac{B}{2}+\sin^3\frac{C}{2}\geq 3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\Leftrightarrow \triangle ABC\) đều