Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh : BC = DE.
b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.
d) Chứng minh : AM = DE/2.
GIẢI:![](https://phong77.files.wordpress.com/2012/03/hinh-hoc-lop-7-ii.png?w=358&h=337)
a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :
AB = AD (gt)
AC = AD (gt)
=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)
=> BC = DE
Xét Δ ABD, ta có :
=> AD
AE
=>![\widehat{BAD}=90^0 \widehat{BAD}=90^0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidehat%7BBAD%7D%3D90%5E0&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
=> Δ ABD vuông tại A.
mà : AB = AD (gt)
=> Δ ABD vuông cân tại A.
=>![\widehat{BDC}=45^0 \widehat{BDC}=45^0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidehat%7BBDC%7D%3D45%5E0&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
cmtt :![\widehat{BCE}=45^0 \widehat{BCE}=45^0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidehat%7BBCE%7D%3D45%5E0&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
=>![\widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0 \widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidehat%7BBDC%7D%3D%5Cwidehat%7BBCE%7D%3D45%5E0&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
mà :
ở vị trí so le trong
=> BD // CE
b) Xét Δ MNC, ta có :
NK
MC = > NK là đường cao thứ 1.
MH
NC = > MH là đường cao thứ 2.
NK cắt MH tại A.
=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.
=> MN
AC tại I.
mà : AB
AC
=> MN // AB.
c) Xét Δ AMC, ta có :
=>
(cùng phụ góc ABC)
=> Δ AMC cân tại M
=> AM = ME (1)
Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :
IM cạnh chung.
mặt khác :
(so le trong)
mà :
(cmt)
=>![\widehat{IMA }= \widehat{IMD} \widehat{IMA }= \widehat{IMD}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cwidehat%7BIMA+%7D%3D+%5Cwidehat%7BIMD%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
=> MA = MD (2)
từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD
ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)
=>MA = DE/2.
từ cách vẽ hình