Question

[Lê Hoàng Nhật]

Giải giúp mình bài này với. Thanks 

Answer 1

[Phía sau một cô gái]

 Ta có: \(x^3+y^3-9xy=0\) 

⇔  \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-9xy=0\)

⇔   \(\left(x+y\right)^3=9xy+3xy\left(x+y\right)\)

⇔   \(\left(x+y\right)^3=3xy[\left(x+y\right)+3]\)

⇒     \(\left(x+y\right)^3⋮x+y+3\)

⇔     \(\left(x+y\right)^3+3^3-3^3⋮x+y+3\)

Theo phân tích hằng đẳng thức: (x+y)\(^3\) + 3\(^3\) \(⋮\)x + y + 3 

Suy ra: 3\(^3\) \(⋮\) x + y + 3   (1)

Vì x, y ∈ N❉    ⇒      x + y + 3 ≥ 5    (2)

Từ (1);(2)    ⇒ x + y + 3 ∈ { 9 ; 27 }

⇒   x + y ∈ { 6 ; 24 }  

Nếu x + y = 6   ⇒ 3xy = \(\dfrac{\left(x+y\right)^3}{x+y+3}=24\) ⇒ xy = 8 

Áp dụng hệ thức Viete suy ra x,y là nghiệm của pt: \(x^2-6x+8=0\)

⇒ ( x,y ) = ( 2,4 ) và hoán vị

Nếu x + y = 24    ⇒    3xy = \(\dfrac{\left(x+y\right)^3}{x+y+3}=512\)  

⇒   \(xy=\dfrac{512}{3}\notin N\)  ( loại ) 

 Vậy ( x , y )=( 2 , 4 ) và hoán vị