Cho hàm số y=f(x)thoả mãn:
f(m+n)+f(m-n)=(n-1)f(m)
Tính f(0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 5 2019
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}.f'\left(x\right)+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{x+1}.f\left(x\right)\right)'=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\) vào ta được
\(\frac{1}{1+1}f\left(1\right)=1-ln2+C\Rightarrow C=\frac{f\left(1\right)}{2}+ln2-1=-1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=x-ln\left|x+1\right|-1\)
Thay \(x=2\) vào ta được:
\(\frac{2}{3}f\left(2\right)=2-ln3-1\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3}{2}\left(1-ln3\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}ln3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 5 2019
Phương pháp để dẫn tới cách giải trên như sau:
Nhìn vế trái, ta thấy nó có dạng gần giống với biểu thức đạo hàm của một tích, vậy ta cố gắng đưa vế trái thành đạo hàm của một tích.
Giả sử sau khi biến đổi, ta được vế trái có dạng: \(VT=\left(u.f\right)'\) ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) này
\(\Rightarrow VT=u.f'+u'.f\)
Chia cho \(u\) ta được: \(\frac{VT}{u}=f'+\frac{u'}{u}.f\)
Chỉ cần quan tâm tới dạng \(f'+\frac{u'}{u}.f\) (1)
Nói chung là ta cần triệt tiêu toàn bộ hệ số đằng trước \(f'\left(x\right)\)
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về dạng (1) bằng cách chia biểu thức điều kiện cho \(x\left(x+1\right)\)
\(f'\left(x\right)+\frac{1}{x\left(x+1\right)}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x\left(x+1\right)}\) (2)
Chỉ quan tâm tới vế trái của (2), đồng nhất nó với (1) ta thấy:
\(\frac{u'}{u}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx\Leftrightarrow ln\left(u\right)=ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\Rightarrow u=\frac{x}{x+1}\)
Vậy ta đã biết hàm \(u\left(x\right)\) cần tìm là \(u\left(x\right)=\frac{x}{x+1}\)