Question

[Nguyễn Lương Bích]

DẠng 3. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.

B1. Cho 2 biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\) và \(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}\)với \(x\ge0,x\ne4\)

a, Rút gọn B.(câu này mk lm rùi)

b, Tìm x nguyên để \(C=A\left(B-2\right)\) có giá trị nguyên

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

a) \(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\div\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}+2}{x-4}\cdot\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\)

b) \(C=A\left(B-2\right)=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-2\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{2-\sqrt{x}}\)

Để C nguyên => \(2-\sqrt{x}\inƯ\left(2\right)\Rightarrow2-\sqrt{x}\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1;3;4\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{0;1;9;16\right\}\)