Cho x,y>0 thỏa mãn:\(x^3+y^3+6xy\le8\). Tìm Min \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 4 2019
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
TA
1 tháng 8 2017
2. Xem tại đây
1. \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)
\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
L
1 tháng 8 2017
1 ) có cách theo cosi đó
áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)
cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)
minP=3 khi x=y=z=1
TC
1
16 tháng 7 2020
Áp dụng Cauchy Schwarz
\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{9}{z}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{25}{x+y+z}=25\)
Đẳng thức xảy ra bạn tự giải
LN
1
16 tháng 11 2015
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=3+2\sqrt{2}\)
Amin =\(3+2\sqrt{2}\) khi x =y =1/2
AV
1
26 tháng 7 2019
Ta có \(3=x+y+z=x+y+\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\ge4\sqrt[4]{x.y.\frac{z^2}{4}}\)
=> \(xyz^2\le\frac{81}{64}\)
\(A=\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xyz}=\frac{2}{\sqrt{xyz^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{81}{64}}}=\frac{16}{9}\)
MinA=16/9 khi \(x=y=\frac{3}{4};z=\frac{3}{2}\)
HB
1
11 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(x^2+y^2+6xy\ge2\sqrt{x^2y^2}+6xy=8xy\Rightarrow8\ge8xy\Rightarrow xy\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}=2}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2+y^2+6xy=8\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy \(A_{min}=2\)khi \(x=y=1\)
3 tháng 1 2016
1.\(N=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2.1000.1000}{x^2}}\)
\(\Rightarrow N\ge300\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^3=1000\Leftrightarrow x=10\)
2.\(P=\left(5x+\frac{12}{x}\right)+\left(3y+\frac{16}{y}\right)\ge2\sqrt{60}+2\sqrt{48}=4\sqrt{15}+8\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow5x=\frac{12}{x};3y=\frac{16}{y}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{12}{5}};y=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
\(\)
với x;y>0 ta có:\(\)
\(8>=x^3+y^3+6xy\Rightarrow8+1=9>=x^3+y^3+1+6xy>=3\sqrt{x^3y^3\cdot1}+6xy=3xy+6xy=9xy\) (bđt cosi)
\(\Rightarrow9>=9xy\Rightarrow1>=xy\Rightarrow xy< =1\)
\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{2}{xy}>=\frac{2}{1}=2\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi x=y=1
vậy min A là 2 khi x=y=1
\(3\sqrt[3]{x^3y^3\cdot1}\)nhá