gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AC, AB. Ở phía ngoài của tam giác ấy, vẽ đoạn thẳng FK vuông góc và bằng FA, EG vuông góc và bằng EA. Chứng minh DKG là tam giác vuông cân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì FA = EC
BD = DC
=> DE là đường trung bình ∆ABC
=> ED = \(\frac{1}{2}\)AB = FA
Mà FA = FK
=> ED = FK
Vì FA = FB
BD = DC
=> FD là đường trung bình ∆ABC
=> FD = \(\frac{1}{2}\)AC = AE
Mà AE =EG
FD = EG
=> AE = FD
Ta có : CED = DFB = EDF ( so le trong)
=> KFD = DEG
Xét ∆KFD và ∆DEG ta có :
KF = DE (cmt)
FD = EG
KFD = DEG
=> ∆KFD = ∆DEG (c.g.c)
=> KD = DG
=> FKD = EDG
=> FDK = EGD
Mà EDG + EGD + DEC + GEC = 180°
=> EDG + EGD + DEC = 90°
=> EDG + FDK + EDF = 90°
=> GDK = 90°
Vì DK = DG
=> ∆DGK cân tại D
=> GDK = 90°
=> ∆DGK vuông cân tại D
Ta có \(\hept{\begin{cases}AE=EC\\BD=DC\end{cases}\Rightarrow DE}\)là đường trung bình của tam giác ABC
\(\Rightarrow ED=\frac{1}{2}AB=AF\)mà \(AF=FK\Rightarrow ED=FK\)
Tương tự \(FD\)là đường trung bình của tam giác ABC
\(\Rightarrow FD=\frac{1}{2}AC=AE\)mà \(AE=EG\Rightarrow FD=EG\)
Ta có \(\widehat{CED}=\widehat{DFB}=\widehat{EDF}\)vì các góc ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\widehat{KFD}=\widehat{DEG}\)
Xét \(\Delta KFD\)và \(\Delta DEG\)
có \(\hept{\begin{cases}KF=DE\\FD=EG\\\widehat{KFD}=\widehat{DEG}\end{cases}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta KFD=\Delta DEG\left(c-g-c\right)}\)
\(\Rightarrow KD=DG\)
\(\Rightarrow\widehat{FKD}=\widehat{EDG};\widehat{FDK}=\widehat{EGD}\)
Mà \(\widehat{EDG}+\widehat{EGD}+\widehat{DEC}+\widehat{GEC}=180^0\Rightarrow\widehat{EDG}+\widehat{EGD}+\widehat{DEC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EDG}+\widehat{FDK}+\widehat{EDF}=90^0\Rightarrow\widehat{GDK}=90^0\)
Xét \(\Delta DKG\)có \(\hept{\begin{cases}\widehat{GDK}=90^0\\DK=DG\end{cases}\left(cmt\right)}\Rightarrow\Delta DKG\)vuông cân tại D
Vậy tan giác DKG vuông cân