Cho x, y thuộc Q; m và n là các số nguyên dương. Chứng minh:
Nếu 0 < x < 1 và m > n thì x^m < x^n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
29 tháng 8 2017
\(x^y=x^4\) Nên: \(x^y:x^4=1\)
\(\Leftrightarrow x^y:x^4=x^0\)
\(\Leftrightarrow x^{y-4}=x^0\)
\(\Leftrightarrow y=4\)
Thay \(y=4\) ta có:
\(x^4=x^4\)(thỏa mãn với mọi x)
Vậy xảy ra với mọi \(x\in R\)
TN
22 tháng 6 2016
- Nếu y=4 thì x có thể là mọi số thuộc Q
- Nếu y\(\ne\)4 thì xy=x4=0 hoặc 1
=>xy=x4=0 <=>x=0
=>xy=x4=1 <=>x=1
PV
1
20 tháng 6 2020
Ta có: \(x+\frac{1}{y};y+\frac{1}{x}\) thuộc Z
=> \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=xy+x.\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.y+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}\) thuộc Z
=> \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=x^2y^2+2xy\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\) thuộc Z
=> \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) thuộc Z
19 tháng 6 2017
Ta thấy rằng \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) không thể cùng đồng thời là số vô tỉ hoặc có 1 số vô tỉ, 1 số hữu tỉ hoặc có 1 số hữu tỉ, 1 số tự nhiên hoặc có 1 số vô tỉ, 1 số tự nhiên vì \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\in N\)do đó \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) chỉ có thể cùng hữu tỉ hoặc cùng là số tự nhiên
Giả sử \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là số hữu tỉ thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{b}{d}\left(b,d\ne0;b,d\in Z\right)\\\sqrt{y}=\dfrac{c}{e}\left(c,e\ne0;c,e\in Z\right)\end{matrix}\right.\); b,d cùng dấu; c,e cùng dấu; (b,d)=1; (c,e)=1
Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{e}=\dfrac{be+cd}{de}=a\in N\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}be+cd⋮d\\be+cd⋮e\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}be⋮d\\cd⋮e\end{matrix}\right.\). Mà (b,d)=1; (c,e)=1 nên \(\left\{{}\begin{matrix}e⋮d\\d⋮e\end{matrix}\right.\)=> d = e
Lại có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}=a^2\in N\) và x;y \(\in N\)
nên \(2\sqrt{xy}=2.\dfrac{bc}{de}=2.\dfrac{bc}{d^2}=2.\dfrac{bc}{e^2}\in N\)
+) d (hay e) \(⋮2\) thì d2 (hay e2) \(⋮4\) mà \(2.\dfrac{bc}{d^2}\) (hay \(2.\dfrac{bc}{e^2}\)) \(\in N\)nên bc \(⋮2\) => \(\left[{}\begin{matrix}b⋮2\\c⋮2\end{matrix}\right.\), mâu thuẫn với (b,d)=1; (c;e)=1
+) d (hay e) \(⋮̸\)2 thì \(\dfrac{bc}{d^2}\in N\Rightarrow\) \(bc⋮d^2\) mà (b;d)=1 nên c \(⋮d^2\) hay \(c⋮e^2\), mâu thuẫn với (c;e)=1
Như vậy điều giả sử là sai
=> \(\sqrt{x};\sqrt{y}\in N\left(đpcm\right)\)
\(m>n\Rightarrow m=n+p\left(p>0\right)\)
\(\Rightarrow x^m=x^n\cdot x^p\)mà \(x< 1\Rightarrow x^m=x^n\cdot x^p< x^n\cdot1^p=x^n\cdot1=x^n\Rightarrow x^m< x^n\)(đpcm)