cho hai số thực dương thỏa \(a+b\le1\)
CMR \(a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\le-\frac{9}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
15 tháng 6 2017
Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại
\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)
Nhân theo vế 4 BDT trên ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
Hay ta có ĐPCM
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 2 2017
Giải:
Vì \(0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow ab,ac,ab\geq abc\)
Do đó mà \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{a+b+c}{abc+1}\)
Giờ chỉ cần chỉ ra \(\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\). Thật vậy:
Do \(0\leq b,c\leq 1\Rightarrow (b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow bc+a+1\geq a+b+c\)
Suy ra \( \frac{a+b+c}{abc+1}\leq \frac{bc+a+1}{abc+1}=\frac{bc+a-2abc-1}{abc+1}+2=\frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix}bc\le1\\a\le1\\abc\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(bc-1\right)\left(1-a\right)\le1\\-abc\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\leq 2\Rightarrow \frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\)
Chứng minh hoàn tất
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,1,1)\) và hoán vị.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{9}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{9}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)
Tương tự: \(\frac{9}{a^2+4b^2+c^2}\le\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{2b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\) ; \(\frac{9}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{2c^2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{4a}{4a+3bc}+\frac{4b}{4b+3ac}+\frac{4c}{4c+3ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{4a+3bc}+\frac{ac}{4b+3ac}+\frac{ab}{4c+3ab}\ge\frac{1}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\frac{b^2c^2}{4abc+3b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{4abc+3a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{4abc+3a^2b^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+12abc}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a+b+c\right)abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}\)
\(VT\ge\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
28 tháng 3 2019
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
RR
14 tháng 5 2018
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
10 tháng 2 2019
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)