Question

[Thủy Trương]

Cho a+b=1

Chứng minh (1+1/a)×(1+1/b)>=9

Answer 1

[Không Tên]

mình bổ sung thêm đề:  a,b dương

             BÀI LÀM

       \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)

\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)   (thay a+b = 1)

\(=\left(1+\frac{a}{a}+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}\right)\)

\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)

\(=4+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{b}{a}.\frac{a}{b}\)

\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\) \(\ge5+2.2=9\)    (1)

c/m:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)   với a,b dương

  \(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}\)

 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)

Vậy  BĐT (1) đã được chứng minh 

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Kaya Renger]

Theo Cauchy , ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky , ta có :

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\right)^2\ge\left(1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)}{2}}\right)^2=\left(1+2\right)^2=9\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1/2