CMR:\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KQ
1
17 tháng 3 2019
\(\Rightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)( luôn đúng vì x,y ko âm nên x+y >0)(đpcm)
chúc bn hok tốt
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
EC
1
N
6 tháng 1 2019
x=ay=bz
\(\sqrt{xy}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{x.ay}\le\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\left(x+ay\right)\)
\(3\sqrt{yz}=\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\sqrt{ay.bz}\le\dfrac{3}{2\sqrt{ab}}\left(ay+bz\right)\)
\(5\sqrt{xz}=\dfrac{5}{\sqrt{b}}.\sqrt{x.bz}\le\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\left(x+bz\right)\)
\(\Rightarrow VF\le x\left(\dfrac{1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\right)+y\left(\dfrac{\sqrt{a}+3\sqrt{a}}{2}\right)+z\left(\dfrac{3\sqrt{b}+5\sqrt{b}}{2}\right)\)
\(=x\left(\dfrac{1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{5}{2\sqrt{b}}\right)+y.2\sqrt{a}+z.4\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\sqrt{b}}{4}=\dfrac{2\sqrt{a}}{2}=\dfrac{\sqrt{b}+5\sqrt{a}}{6\sqrt{ab}}\Rightarrow a=b=1\)
troll dữ vậy .-.
FF
1
LC
1
9 tháng 6 2016
a)
\(x^4-y^4=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right).\)
b)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=x^3+x^2y+x^2z+xy^2+y^3+y^2z+\)
\(+xz^2+yz^2+z^3-x^2y-xy^2-xyz-xyz-y^2z-yz^2-x^2z-xyz-xz^2=\)
\(=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
2 tháng 4 2022
2.
\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)
*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)
*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)
\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)
-Vậy \(n=1\)
2 tháng 4 2022
1. \(x^2+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)
-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.
\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.
*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.
DT
1
19 tháng 7 2017
Xét \(\dfrac{x^3+xy^2-x^2y-y^3}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^2+y^2\right)}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-y^2\ge0\Leftrightarrow x^2\ge0\left(đúng\right)\)
=> đpcm
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\text{Do: }x\ge0;y\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge0\)
Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)xy\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^2\ge x^2y+xy^2\left(đ\text{pcm}\right)\)
mk bổ sung thêm đề nhé: x,y > 0
cách khác:
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) luôn đúng do (x-y)2 >= 0; x+y > 0 (x,y>0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)