Question

[tina tina]

với p,q là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng

p⁴ - q⁴  chia hết cho 240

Answer 1

[๖²⁴ʱんuﾘ ｲú❄✎﹏]

Ta có: p^4-q^4-(p^4-1)-(q^4-1); 240 - 8.2.3.5. Ta cần chứng minh p^4-1 chia hết cho 240

- Do p>5 nên p là số lẻ

+ Mặt khác: p^4-1-(p-1)(p+1)(p^2+1)=> (p-1) và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1)(p+1) chia hết cho 8

+ Do p là số lẻ nên p^2 là số lẻ => p^2+1 chia hết cho 2

p > 5 nên p có dạng

+ p-3k+1 => p-1-3k+1-1-3k chia hết cho 3 =>p^4 - 1 chia hết cho 3........

Tương tự ta cũng có q^4 - 1 chia hết cho 240 .

Vậy (p^4-1)-(q^4-1) = p^4 - q^4 cho 240