Question

[Nguyễn Minh Đăng]

Hộ nốt câu 2 ý 2 đê, khó quá:((

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

\(\left(P\right):y=x^2\)

\(d:y=\left(2-2m\right)x+m\)

+) Xét phương trình: \(x^2+\left(2m-2\right)x-m=0\left(1\right)\)có \(\Delta'=m^2-m+1>0\forall m\)

Vậy d luôn cắt (P) tại A,B phân biệt.

+) Giả sử \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của (1), ta có: \(A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)\)hay \(A\left(x_1;x_1^2\right),B\left(x_2;x_2^2\right)\)

Vì \(M\left(\frac{1}{2};1\right)\) là trung điểm AB nên \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1\\\frac{x_1^2+x_2^2}{2}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1\\1-2x_1x_2=2\end{cases}}\)(I)

Theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2-2m\\x_1x_2=-m\end{cases}}\)(II)

Từ (I),(II) suy ra \(\hept{\begin{cases}2-2m=1\\1+2m=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Như vậy \(KH=\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\left(2-2m\right)^2-4\left(-m\right)}=\sqrt{3}.\)

Answer 2

[Phan Nghĩa]

cô-si ngược auto ra @-@

Từ giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\frac{1}{x}=A;\frac{1}{y}=N;\frac{1}{z}=H\)khi đó : \(A+N+H=1\)

Ta có : \(H.=\frac{H}{9A^2+1}+\frac{A}{9N^2+1}+\frac{N}{9H^2+1}\)

Theo bđt cô si ta có đánh giá sau :

\(\frac{H}{9A^2+1}=\frac{H\left(9A^2+1\right)-9HA^2}{9A^2+1}=H-\frac{HA^2}{9A^2+1}\ge H-\frac{3}{2}AH\)

Tương tự và cộng theo vế ta được :

\(H=A+N+H-\frac{3}{2}\left(AN+NH+HA\right)=1-\frac{3}{2}\left(AN+NH+HA\right)\)

Áp dụng bđt phụ \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)có:

\(1-\frac{3}{2}\left(AN+NH+HA\right)\ge1-\frac{\frac{3}{2}\left(A+N+H\right)^2}{3}=1-\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=N=H=\frac{1}{3}\)\(< =>x=y=z=\frac{1}{3}\)

=))