a,b,c>0 thỏa mãn a2+b2+c2=3
cmr \(3\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge15\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:
$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$
$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$
$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$
$=2+3=5$
Vậy $M_{\min}=5$
7 tháng 12 2017
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
12 tháng 1 2019
Có: \(VT=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ac+bc}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)được
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Chuyển vế đưa thành tổng bình phương)
\(\Rightarrow VT\ge...\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" khi a=b=c=1
T
25 tháng 3 2018
BĐT\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\frac{1}{a}+\frac{1}{c}.\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\). Áp dụng BĐT: AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{a+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}}=c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
hay \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu bằng = xảy ra khi a = b = c = 1
PN
5 tháng 8 2020
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow xyz=1;x>0;y>0;z>0\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số :
\(\left(\sqrt{y+z};\sqrt{z+x};\sqrt{x+y}\right);\left(\frac{x}{\sqrt{y+z}};\frac{y}{\sqrt{z+x}};\frac{z}{\sqrt{x+y}}\right)\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x+y+z+x+y+z\right)A\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
25 tháng 12 2017
gia thiet la = chu nhi, sao lai +.neu la bag thi ban nhan cheo roi phan h thanh nhan tu.(a+b)(c+b)(c+a)=0 thay vao la ra
T
22 tháng 2 2020
\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)
\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)
\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)
\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)
\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
P/s: Em chưa check lại đâu nha::D
T
22 tháng 2 2020
Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm
Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):
\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)
\(VT=3\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\left(3a+\frac{2}{a}\right)+\left(3b+\frac{2}{b}\right)+\left(3c+\frac{2}{c}\right)\)
*Nháp*
Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó VT = 15
Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+n\)(Ta thấy hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc 2) (*)
Do đó ta có: \(3a+\frac{2}{a}\ge ma^2+n\);\(3b+\frac{2}{b}\ge mb^2+n\);\(3c+\frac{2}{c}\ge mc^2+n\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=15\)
\(\Rightarrow m+n=5\Rightarrow n=5-m\)
Thay n = 5 - m vào (*), ta được: \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+5-m\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-5x+2}{x}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{x\left(x+1\right)}\)(**)
Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow n=\frac{9}{2}\)
Ta được BĐT phụ \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)
GIẢI:
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a;b;b\le\sqrt{3}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))
\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\ge0\)(đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))
Áp dụng, ta được: \(3a+\frac{2}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3b+\frac{2}{b}\ge\frac{b^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3c+\frac{2}{c}\ge\frac{c^2}{2}+\frac{9}{2}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}.3=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
hình chử nhật có chu vi là 150m chiều dài hơn chiều rộng là 15m tìm tỉ số của chiều rộng và chiều dài hinh chử nhật đó