Question

[Nguyễn Thanh Phong]

Cho đường tròn (C) x2+y2-2x+2y-23=0
Lập phương trình đường thẳng D biết
D đi qua N(7;3) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt ,EF sao cho NE=3NF

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đường tròn tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IN}=\left(6;4\right)\Rightarrow IN=2\sqrt{13}>R\Rightarrow N\) nằm ngoài đường tròn

Theo tính chất phương tích:

\(NE.NF=IN^2-R^2=27\)

\(\Rightarrow3NF^2=27\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NF=3\\NE=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow EF=6\)

\(\Rightarrow d\left(I;EF\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{EF}{2}\right)^2}=4\)

Gọi phương trình d có dạng \(a\left(x-7\right)+b\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax+by-7a-3b=0\)

\(d\left(I;d\right)=4\Leftrightarrow\frac{\left|a-b-7a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+2b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow9a^2+12ab+4b^2=4a^2+8ab+4b^2\)

\(\Leftrightarrow5a^2+4ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\5a=-4b\end{matrix}\right.\) chọn \(\left(a;b\right)=\left(4;-5\right)\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y-3=0\\4x-5y-13=0\end{matrix}\right.\)