Question

[Nguyễn Thị Bích Ngọc]

4 giờ trước (11:29)

tìm các giá trị thực của m để y=x^3−3(m+1)x^2+3m(m+2)x−3(m+1) nghich biến trên [0;1]

tìm tất cả m để y=x^4−2m.x^2−2 đồng biến (0;+∞) trên và nghịch biến trên (−∞;0)

Answer 1

[Cô nàng Thiên Bình dễ thương]

 Ta có: $y^{\prime }=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m$

Để hàm số $y=\frac{x^3}{3}-\left(m+1\right)x^2+\left(m^2+2m\right)x+1$ nghịch biến trên $(2;3)$ thì $y^{\prime }<0$ với mọi $x\in \left(2;3\right).$

Tức là khoảng $(2;3)$ nằm trong khoảng hai nghiệm phương trình $y^{\prime }=0$ (Do $y^{\prime }=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m$ có hệ số của $x^2$ dương).

$\{\begin{array}{c}{\Delta }^{\prime }>0\\ x_1\le 2<3\le x_2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\left(m+1\right)}^2-m^2-2m>0\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\le 0\\ \left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}1>0\\ x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\le 0\\ x_1{x}_2-3\left(x_1+x_2\right)+9\le 0\end{array}$

$\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}{m}^2+2m-\mathrm{2.2.}\left(m+1\right)+4\le 0\\ m^2+2m-\mathrm{3.2.}\left(m+1\right)+9\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{m}^2-2m\le 0\\ m^2-4m+3\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}0\le m\le 2\\ 1\le m\le 3\end{array}\\ \iff 1\le m\le 2\end{array}$

Answer 2

[Hoàng hôn ( Cool Team )]

Ta có: y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m

Để hàm số y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1 nghịch biến trên (2;3)(2;3) thì y′<0y′<0 với mọi x∈(2;3).x∈(2;3).

Tức là khoảng (2;3)(2;3) nằm trong khoảng hai nghiệm phương trình y′=0y′=0 (Do y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m có hệ số của x2x2 dương).

{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔⎧⎪⎨⎪⎩1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔{(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔{1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0

⇔{m2+2m−2.2.(m+1)+4≤0m2+2m−3.2.(m+1)+9≤0⇔{m2−2m≤0m2−4m+3≤0⇔{0≤m≤21≤m≤3⇔1≤m≤2