Question

[ぼく の ぴこ.]

Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I. a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg ABO có

AB=AO=R => tg ABO cân tại A

\(AH\perp OB\) => AH là đường cao của ABO

=> AH là đường trung trực của tg ABO (trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy )

\(\Rightarrow HB=HO\)(1)

Xét tg AOC có

OA=OC => tg AOC cân tại O

\(BO\perp AC\) => BO là đường cao của tg AOC

=> BO là đường trung trực của tg AOC (trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy )

\(\Rightarrow HA=HC\) (2)

Từ (1) và (2) => ABCO là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Xét tg ABO và tg CBO có

ABCO là hbh (cmt) => AO=BC; AB=CO (trong hbh các cặp cạh đối // và bằng nhau)

BO chung

=> tg ABO=tg ACO (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{BAO}=90^o\) => BC là tiếp tuyến của (O)

b/

Xét tg vuông ABO có

\(BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}\)

\(BH=OH=\frac{BO}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Tg cân ABO có \(\widehat{BAO}=90^o\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=45^o\)

Xét tg AOI có OA=OI => tg AOI cân tại O \(\Rightarrow\widehat{AIO}=\widehat{IAO}=\frac{180^o-\widehat{AOB}}{2}=\frac{180^o-45^o}{2}=67,5^o\)

\(AH^2=BH.OH=BH^2=\frac{2R^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{R\sqrt{2}}{2}\) (Trong tg vuông bình phương đường cao bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Xét tg vuông AIH có

\(\tan\widehat{AIO}=\tan67,5^o=\frac{AH}{IH}\Rightarrow IH=\frac{AH}{\tan67,5^o}=\frac{R\sqrt{2}}{2.\tan67,5^o}\)

\(\sin\widehat{AIO}=\sin67,5^o=\frac{AH}{AI}\Rightarrow AI=\frac{AH}{\sin67,5^o}=\frac{R\sqrt{2}}{2.\sin67,5^o}\)