Question

[Rebecca Hopkins]

Cho △ ABC vuông cân ( AB = AC ), tia p/g của \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) cắt AC là AB lần lượt tại E & D

a, CMR : BE= CD, AD= AE

b, Gọi I là giao đ' BE & CD . AI cắt BC ở M. CM : △MAB, MAC là △ vuông cân 

c, Từ A & D vẽ các đường thẳng vuông góc vs BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K & H. CMR : KH = KC

Answer 1

[Hotel del Luna]

a, Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ACD\)có :

AB = AC (gt)

\(\widehat{BAE}\)= \(\widehat{CAD\left(gt\right)}\)

\(\widehat{ACD}\)=\(\widehat{ABE}\)( \(\Delta ABC\)vuông => \(\widehat{ACB}\)=\(\widehat{ABC}\), \(\widehat{ACD}\)= \(\frac{1}{2}\widehat{ACB}\), \(\widehat{ABE}\)=\(\frac{1}{2}\widehat{ABC}\))

=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow BE=CD\)( 2 góc t.ứng )

\(\Rightarrow AD=AE\)( ________)

b, Ta có : CD là tian p/g của \(\widehat{ACB}\)

               BE ___________\(\widehat{ABC}\)

mà \(\Delta ABC\)là \(\Delta\)cân, I là GĐ của DC & EB

=> AM là đường p/g đồng thời là đường cao của \(\widehat{BAC}\)

=> \(AM\perp BC\left(1\right)\)

Am là đường p/g => AM là đường trung tuyến của \(\widehat{BAC}\)

                            => \(AM=\frac{1}{2}BC,MC=\frac{1}{2}BC\)

=> AM = MC ( 2 )

Từ (1) & (2) => \(\Delta AMC\)vuông cân

Ta có : \(BM=\frac{1}{2}BC\)mà \(AM=\frac{1}{2}BC\)

=> BM = AM ( 3 0

Từ ( 1 ) & ( 3 ) => \(\Delta AMC\)vuông cân

c, Nối EK cắt DC ở F

   ___EH , giao điểm của BE & AK là H

Xét \(\Delta ABK\)có :

AH là tia p/g đồng thời là đường cao

=> \(\Delta ABH\)cân => AB = BK

Xét \(\Delta ABE\)& \(\Delta AKE\)có :

 AB = BK ( cmt )

 \(\widehat{ABE}\)= \(\widehat{KBE}\)( BE là tia p/g \(\widehat{HBK}\))

BE chung ( gt )

=> \(\Delta ABE=\Delta AKE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}\)= \(\widehat{BKE}\)( 2 góc t.ứng ) \(\Rightarrow\widehat{BKE}\)= 90^o

Mà \(\widehat{KEC}\)= \(\widehat{KCE}\)= 45^o ( tổng 3 góc trong 1 \(\Delta\))

\(\Rightarrow\Delta KEC\)vuông cân => KE = KC

CM \(\Delta EKH\)vuông cân => KE=KH

=> KH= KC ( đpcm )