Cho a , b , c là các số thực đôi 1 khác nhau thuộc [ 0 ; 2 ]
Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2023
\(P=\dfrac{ab}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{ca}{\left(c-b\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)-ca\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+b^2c-bc^2-a^2c+ac^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\dfrac{ab-c\left(a+b\right)+c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{ab-bc+c^2-ca}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\dfrac{b\left(a-c\right)-c\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
16 tháng 8 2017
Ta có:
\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=b-c\\b^2-c^2=c-a\\c^2-a^2=a-b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{b-c}{a-b}\\b+c=\frac{c-a}{b-c}\\c+a=\frac{a-b}{c-a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\frac{b-c}{a-b}.\frac{c-a}{b-c}.\frac{a-b}{c-a}=1\)
- Giả sử \(2\ge a>b>c\ge0\)
- Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số , ta có :
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left(a-b\right).\left(a-b\right)}=3\)
+
\(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left(b-c\right).\left(b-c\right)}=3\)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+2\left(a-c\right)\ge6\)
Do đó : \(P\ge\frac{1}{\left(a-c\right)^2}-2\left(a-c\right)+6\)
Do \(2\ge a>b>c\ge0\Rightarrow2\ge a-c>0\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2^2}-2.2+6=\frac{9}{4}\)
Vậy : \(MinP=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=2;b=1;c=0\)và các hoàn vị của nó