Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)
LG
Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)
Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy .........
2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)
\(A\ge6-3\)
\(A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)
\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)
Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:
\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)
\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=2\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
CMR: $xyz=1$
-----------------------------
Có:
$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)
Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$
$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)
Ta có đpcm.
Ta có:
\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=b-c\\b^2-c^2=c-a\\c^2-a^2=a-b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{b-c}{a-b}\\b+c=\frac{c-a}{b-c}\\c+a=\frac{a-b}{c-a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\frac{b-c}{a-b}.\frac{c-a}{b-c}.\frac{a-b}{c-a}=1\)
\(R=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTNN của \(R\) là \(9\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt ~
Bài 5 nha:
\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}.\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)=\frac{b-c}{bc}_{\left(1\right)}\)
\(a+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{a}\Leftrightarrow a-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)=\frac{b-a}{ab}_{\left(2\right)}\)
\(c+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{c}\Leftrightarrow c-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)=\frac{a-c}{ac}_{\left(3\right)}\)
Nhân từng vế của (1) ; (2) và (3) , ta được :
\(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)=\frac{\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}\)
\(=\frac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2=1\Leftrightarrow abc=1\)hoặc \(abc=\left(-1\right)\)
Bài 3:
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\)
\(=1+2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow1=1+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)(*)
áp dụng kết quả sau :
Ta có : \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
Thấy vậy : \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\left(ab+bc+ca\right)\right)-3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)^33\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
áp dụng vào bài toán, ta có :
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow1-3xyz=\frac{1}{2}\times1\times2=1\Leftrightarrow xyz=0\)(**)
Mà \(x+y+z=1\)(***)
\(\Leftrightarrow\)x ; y ; z là 3 nghiệm của pt bậc 3 sau : \(U^3-U^2=0\)
\(\Leftrightarrow U=0\)hoặc \(U=1\)
=> 1 trong 3 phần tử x ; y ; z =1 ; 2 phần tử còn lại sẽ = 0
Do đó \(x+y^2+z^3=1\)
=> điều phải chứng minh.
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{c^2+b^2+2}+\frac{1}{a^2+c^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Cần chứng minh \(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)
Theo đề bài \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=0\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=0\)
\(\Rightarrow\frac{c+a+b}{abc}=0\) mà \(a;b;c\ne0\Rightarrow abc\ne0\Rightarrow a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=-\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Mà \(3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) chia hết cho 3 nên \(-\left(a^3+b^3+c^3\right)\) chia hết cho 3
Nên \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 3