Cho \(x,y\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)thoả mãn \(\cos2x+\cos2y+2\sin\left(x+y\right)=2\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\dfrac{\sin^4x}{y}+\dfrac{\cos^4y}{x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 5 2016
Ta có :
\(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\) (1)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge9\)
Vì \(x+y+z=1\) nên có
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{4}\)
Thế vào (1) ta có :
\(P\le\frac{3}{4}\) với mọi \(\left(x,y,z\right)\in D\)
Mặt khác lấy \(x=y=z=\frac{1}{3}\), khi đó \(\left(x,y,z\right)\in D\) ta có \(P=\frac{3}{4}\) vậy max \(P=\frac{3}{4}\)
19 tháng 1 2021
a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=2m\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2y+2y=2m-1\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(m^2+2\right)=2m-1\\mx=1+2y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\\x=\dfrac{1+2y}{m}=\left(1+\dfrac{2m-1}{m^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m^2+2+2m-1}{m^2+2}\cdot\dfrac{1}{m}=\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>0 và y>0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}>0\\\dfrac{2m-1}{m^2+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}>0\)
Vậy: Khi m>0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x>0 và y>0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 11 2021
TH1: \(m=3\Rightarrow f\left(x\right)=-5< 0\) với mọi x(ktm)
TH2: \(m>3\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[3;4\right]}f\left(x\right)=f\left(3\right)=3\left(m-3\right)-2m+1=m-8\)
\(m-8>0\Rightarrow m>8\)
TH3: \(m< 3\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên R
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[3;4\right]}=f\left(4\right)=4\left(m-3\right)-2m+1=2m-11\)
\(2m-11>0\Rightarrow m>\dfrac{11}{2}\) (ktm điều kiện \(m< 3\))
Kết hợp lại ta được \(m>8\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2020
Lời giải:
\(f(x)=(-x+1)(x-2)>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x+1< 0\\ x-2< 0\end{matrix}\right.\) hay $1< x< 2$
hay $x\in (1;2)$
Đáp án D
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)
Thay \(x=4\pi\)
\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)
\(\Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)
NH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(\left(x^3+1\right)\left(y^3+1\right)\left(z^3+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow3xyz\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Ta có:
\(x^2-x+1=\dfrac{3}{4}x^2+\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^2\ge\dfrac{3}{4}x^2\)
Tương tự: \(y^2-y+1\ge\dfrac{3}{4}y^2\) ; \(z^2-z+1\ge\dfrac{3}{4}z^2\)
Do các vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế ta được:
\(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)\ge\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Thế vào điều kiện \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=3xyz\) ko thỏa mãn (loại)
Vậy \(xyz=0\)