Đề bài phải sửa thành AN=NC mới c/m được

A B C D

MA=MB (gt)

AN=NC (gt)

=> MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có

\(BC\perp AB\) mà MN//BC => \(MN\perp AB\) (1)

Ta có

\(BC=AB\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}\)

Mà \(MA=MB=\dfrac{AB}{2}\)

=> MN = MA (2)

Từ (1) và (2) => tg AMN vuông cân tại M

Theo bài ra ta có: k + 4  ⋮ 11

                      ⇒ k - (-4) ⋮ 11 

                      ⇒ k \(\equiv\) - 4 (mod 11)

                      ⇒ k² \(\equiv\) (-4)² (mod 11)

                          3k \(\equiv\) 3.(-4)(mod 11)

                          5 \(\equiv\) 5 (mod 11)

Cộng vế với vế ta có: k² + 3k + 5 \(\equiv\) 16  - 12 + 5 (mod 11)

                        ⇒        k² + 3k + 5 \(\equiv\) 9 (mod 11) 

Giả sử điều cần chứng minh là đúng thì 

                       k² + 3k + 5 ⋮ 11 ⇔ 9  ⋮ 11 ( vô lý)

Nên điều giả sử là sai

Vậy với k \(\in\) Z chứng minh rằng k² + 3k + 5 ⋮ 11 ⇔ k + 4 ⋮ 11 là điều không thể xảy ra.

Bạn xem lại đề có đúng không theo tôi k-4⋮11

\(A=\dfrac{2\sqrt{2x^3}+1}{\sqrt{2x}+1}-\sqrt{2x}\left(\sqrt{2x}-1\right)=\dfrac{\sqrt{8x^3}+1}{\sqrt{2x}+1}-\sqrt{2x}\left(\sqrt{2x}-1\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{2x}+1\right)\left(2x-\sqrt{2x}+1\right)}{\sqrt{2x}+1}-2x+\sqrt{2x}\)

\(=2x-\sqrt{2x}+1-2x+\sqrt{2x}=1\)

Vậy A=1

\(=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2\left(26+15\sqrt{3}\right)}-\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2\left(26-15\sqrt{3}\right)}=\)

\(=\sqrt{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(26+15\sqrt{3}\right)}-\sqrt{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(26-15\sqrt{3}\right)=}\)

\(=\sqrt{7.26+7.15\sqrt{3}-4.26\sqrt{3}-180}-\sqrt{7.26-7.15\sqrt{3}+4.26\sqrt{3}-180}=\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{3}}-\sqrt{4-\sqrt{3}}\)

ĐKXĐ : \(x^4+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).x^2-\sqrt{6}\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\ne\sqrt[4]{2}\)

\(P=\dfrac{x^2-\sqrt{2}}{x^4+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).x^2-\sqrt{6}}\)

\(=\dfrac{x^2-\sqrt{2}}{\left(x^4-\sqrt{2}x^2\right)+\sqrt{3}\left(x^2-\sqrt{2}\right)}\) 

\(=\dfrac{x^2-\sqrt{2}}{\left(x^2+\sqrt{3}\right)\left(x^2-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{1}{x^2+\sqrt{3}}\)

a, Để đường thẳng y = (m+ 2)\(x\) + 3 và y = (3m + 1)\(x\) - 5 song song với nhau ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}m+2=3m+1\\3\ne-5\end{matrix}\right.\)

 ⇒ 3m - m = 2 - 1

      2m = 1

        m = \(\dfrac{1}{2}\)

b, Hai đường thẳng cắt nhau khi:

m +2 \(\ne\) 3m + 1

3m - m \(\ne\) 2 - 1

 2m  \(\ne\) 1

 m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{2}\)\(\times\)\(\sqrt{4}\) - \(\sqrt{15}\) = 2\(\sqrt{2}\) - \(\sqrt{15}\)

 Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Ta dễ tính được \(\widehat{ADH}=\widehat{B}+\widehat{BAD}=45^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=45^o+\dfrac{60^o}{2}=75^o\).

 Từ đó suy ra tam giác ACD cân tại A hay \(AC=AD=2\). Đồng thời \(AH=AC.\sin\widehat{C}=2.\sin75^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\).

 \(\Delta ABH\) vuông cân tại H nên \(AB=AH\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=1+\sqrt{3}\) và \(BH=AH=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

 Mà ta lại có \(CH=AC.\cos C=2\cos75^o=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\) nên \(BC=BH+CH=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\). 

 Thế thì chu vi của tam giác ABC bằng \(AB+BC+CA=1+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2=3+\sqrt{3}+\sqrt{6}\left(cm\right)\)

 Và diện tích của tam giác ABC bằng

\(\dfrac{1}{2}AC.BC.\sin C=\dfrac{1}{2}.2.\sqrt{6}.\sin75^o=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)

Lời giải:

Đặt $\sqrt{x}=t(t>0)$

$B=\frac{t^3-2t}{t^2(t+1)}=\frac{t^2-2}{t^2+t}$

Điều phải chứng minh tương đương với:

$B^{2021}+1> B(B^{2020}+1)$

$\Leftrightarrow B<1$ 

$\Leftrightarrow t^2-2}{t^2+t}-1<0$

$\Leftrightarrow \frac{-2-t}{t^2+t}<0$ (luôn đúng với mọi $t>0$)

Vậy.......