K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
16 tháng 11 2016
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^3+c-3\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\)
Mà ta có \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\ge0\\\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\end{cases}}\)nên cái BĐT là đúng
16 tháng 11 2016
- Ta có BĐT giữa trung bình nhân và trung bình cộng : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ; \(\frac{c+d}{2}\ge\sqrt{cd}\)
- Trước hết ta chứng minh BĐT \(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
Áp dụng BĐT trên , ta được : \(\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)}{2}.\frac{\left(c+d\right)}{2}}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) (*)
- Đặt \(d=\frac{a+b+c}{3}\) thì \(a+b+c=3d\) (**)
Từ (*) và (**) ta có : \(\frac{3d+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d^4\ge abcd\Leftrightarrow d^3\ge abc\Leftrightarrow d\ge\sqrt[3]{abc}\)
hay \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) (đpcm)
Bạn tự xét dấu đẳng thức nhé!
30 tháng 7 2021
Chứng minh \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}với\left(x;y;z>0\right)\)
Thường thì sẽ sử dụng cái này nhiều nhất
Đầu tiên đi chứng minh
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow a^2xy+\left(bx\right)^2+\left(ay\right)^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\\ \Leftrightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2-2abxy\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Áp dụng 1 lần nữa ta có điều ở trên
Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
KA
7 tháng 11 2021
a/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được
abc+bca≥2√abc.bca=2cabc+bca≥2abc.bca=2c
Tương tự
abc+cab≥2babc+cab≥2b
bca+cab≥2abca+cab≥2a
Cộng các vế của BĐT
2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)
↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c
b/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được
abc+bca≥2√abc.bca=2babc+bca≥2abc.bca=2b
Tương tự
abc+cab≥2aabc+cab≥2a
bca+cab≥2cbca+cab≥2c
Cộng các vế của BĐT
2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)
↔abc+bca+cab≥a+b+c
1 tháng 6 2018
Câu hỏi của Called love - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ban jtrar My làm òi nhé !
AK
1 tháng 6 2018
Bạn tham khảo tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Anh Quân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
~ Ủng hộ nhé
LD
23 tháng 8 2021
bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng
LD
23 tháng 8 2021
Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
LB
2
13 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}=2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{c}.c}=2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
13 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT cosi cho 3 số a,b,c dương:
\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\ \dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\ \dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\)
Cộng vế theo vế 3 BĐT trên
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Cos (30°)=0,15. Cos(45°)=0,53. Cos(60°)= -0,953
Dựa vào các định lí như hệ thức, tiếp điểm , đường cao, tiếp tuyến,..