Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1 sai đề rồi bạn. Nếu BEMD là ht cân thật thì \(\widehat{ABC}=\widehat{MDB}\)mà \(\widehat{MDB}=\widehat{ACB}\)(đồng vị) => \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)=> tam giác ABC cân( trái với đề bài)
a) Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {60^o}\)
Vì PM // BC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {APM} = {60^o}\)
Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có \(\widehat {ABC} = \widehat {APM}\)
Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)
Vì MQ // AC nên \(\widehat {BQM} = \widehat {ACB} = {60^o}\)
Tứ giác BPMQ là hình thang (vì PM // BQ) có \(\widehat {BQM} = \widehat {ACB}\) nên BPMQ là hình thang cân.
Suy ra BM = PQ (2)
Tứ giác QMRC là hình thang (vì QM // RC) có \(\widehat {MRC} = \widehat {RCQ}\) (cùng bằng góc BAC) nên QMRC là hình thang cân. ta có MC = QR (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra PR + BM + QR = MA + MB + MC.
Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).
c) Vì chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC
Để tam giác PQR là tam giác đều thì PQ = QR = PR suy ra MA = MB = MC
Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).
Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.
a) Ta có MR//AP nên tứ giác APMR là hình thang.
Lại có MP//BQ nên \(\widehat{MPA}=\widehat{CBA}=\widehat{BAC}=\widehat{RAP}=60^o\)
Hình thang APMR (MR//AP) có \(\widehat{MPA}=\widehat{RAP}\) nên APMR là hình thang cân.
b) Tương tự câu a), ta cũng chứng minh được các tứ giác BPMQ và CQMR là hình thang cân.
Tứ giác APMR là hình thang cân \(\Rightarrow MA=PR\) (2 đường chéo của hình thang cân thì bằng nhau)
Tương tự, suy ra \(MB=PQ,MC=QR\)
\(\Rightarrow MA+MB+MC=PR+PQ+PR=C_{\Delta PQR}\)
Ta có đpcm.
c) \(\Delta PQR\) đều
\(\Leftrightarrow PQ=QR=PR\)
\(\Leftrightarrow MA=MB=MC\) (vì \(MA=PR,MB=PQ,MC=QR\) (cmt))
\(\Leftrightarrow\) M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d) Điểm D là điểm nào đó bạn? Nếu ý bạn là \(\widehat{RMP}=\widehat{PMQ}=\widehat{QMR}\) thì cái này dễ rồi nhé. Dùng tính chất hình thang chứng minh cả 3 góc này bằng 120o là được.
e) Dựng tam giác đều BMN sao cho N và A nằm cùng phía đối với đường thẳng BM.
Khi đó \(BM=BN=MN\), \(\widehat{MBN}=\widehat{ABC}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NBM}-\widehat{ABM}=\widehat{ABC}-\widehat{ABM}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{MBC}\)
Xét tam giác BNA và BMC, ta có:
\(BN=BM\left(cmt\right),\widehat{NBA}=\widehat{MBC}\left(cmt\right),BA=BC\) (tam giác ABC đều)
\(\Rightarrow\Delta BNA=\Delta BMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AN=MC\)
Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}MB=MN\\MC=NA\end{matrix}\right.\) nên \(MA,MB,MC\) chính là 3 cạnh của tam giác AMN
Hiển nhiên \(max\left\{MA,MB,MC\right\}\) nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại.