ND
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
1 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
ND
25 tháng 4 2018
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm , ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
b) Xét hiệu:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
25 tháng 4 2018
a) a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\) ( a > 0 ; b > 0 )
⇔ a - 2\(\sqrt{ab}\) + b ≥ 0
⇔ \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\) ≥ 0 ( luôn đúng )
b) Áp dụng BĐT Cô-si :
x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)
⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2
⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 3 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/voi-0-xy-dfrac12-chung-minhdfracsqrtxy1dfracsqrtyx1-dfrac2sqrt23.461470553384
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2020
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2020
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\geq 2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2ab+1}-1}{ab}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2ab}{ab(\sqrt{2ab+1}+1}\geq 2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2ab+1}+1}\geq \sqrt{2}-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2ab+1}+1\leq \sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\leftrightarrow 2ab\leq 1\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\) (luôn đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
Y
19 tháng 5 2019
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
14 tháng 6 2017
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
9 tháng 11 2019
\(\sqrt{a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{4}a+\frac{5}{4}b\right)^2+\frac{7}{16}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\left(\frac{3}{4}a+\frac{5}{4}b\right)^2}=\frac{3a+5b}{4}\)
Tương tự \(\sqrt{b^2+2c^2+bc}\ge\frac{3b+5c}{4};\sqrt{c^2+2a^2+ca}\ge\frac{3c+5a}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2c^2+bc}+\sqrt{c^2+2a^2+ca}\ge\frac{3a+5b+3b+5c+3c+5a}{4}\)
\(=2\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)
Đk: \(-1< x< 1\)
Ta có \(2\sqrt{2022\left(1-x^2\right)}\le2023-x^2\)
Nếu \(0\le x< 1\) thì \(x\left(x+2021\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2021x\ge0\)
\(\Leftrightarrow2023-x^2\le2021x+2023\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{2022\left(1-x^2\right)}\le2023-x^2\le2021x+2023\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2022}\le\dfrac{2021x+2023}{\sqrt{1-x^2}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2022=1-x^2\\x=0\end{matrix}\right.\), vô lý.
Vậy nếu \(0\le x< 1\) thì BĐT đúng.
Xét \(-1< x< 0\) thì đặt \(x=-t\left(0< t< 1\right)\).
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow\dfrac{2023-2021t}{\sqrt{1-t^2}}\ge2\sqrt{2022}\)
Ta có \(2023-2021t\)
\(=2022-2022t+1+t\)
\(=2022\left(1-t\right)+\left(1+t\right)\)
\(\ge2\sqrt{2022\left(1-t\right)\left(1+t\right)}\)
\(=2\sqrt{2022\left(1-t^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2023-2021t}{\sqrt{1-t^2}}\ge2\sqrt{2022}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2022-2022t=1+t\) \(\Leftrightarrow t=\dfrac{2021}{2023}\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{2021}{2023}\)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{2021}{2023}\)
Trường hợp \(x\) = - \(\dfrac{2020}{2021}\) thì sao em nhỉ?