Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) \(U_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}\)
\(U_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}-\left(n+1\right)=\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)
Vì \(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}>\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n>U_{n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy giảm.
+) Ta có: \(\sqrt{n^2+2}-n\le\sqrt{\left(n+\sqrt{2}\right)^2}-n=\sqrt{2}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy bị chặn
Xét hiệu:
un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số tăng (1)
Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗
Nên un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3)
Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0
u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0
⇒ u1 > u2 và u2 < u3
Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:
|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1
Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n
Xét hiệu:
un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n
Ta có:
{√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n
⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0
⇒ un là dãy số giảm (1)
Mặt khác:
un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1
Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1
Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn
a)
Xét hiệu
\(u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)\)\(=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0\) (Với mọi \(n\in N^{\circledast}\) ).
Suy ra: \(u_{n+1}>u_n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \(u_n\ge2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Mặt khác n càng tăng thì \(u_n\) càng lớn theo giá trị của \(n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không bị chặn trên.
b) \(u_1=\left(-1\right)^{1-1}.sin1=sin1>0\).
\(u_2=\left(-1\right)^{2-1}sin\dfrac{1}{2}=-sin\dfrac{1}{2}< 0\).
\(u_3=\left(-1\right)^{3-1}.sin\dfrac{1}{3}=sin\dfrac{1}{3}>0\).
Ta thấy \(u_1>u_2\) và \(u_2< u_3\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng và không giảm.
\(\left|u_n\right|=\left|\left(-1\right)^{n-1}sin\dfrac{1}{n}\right|\le\left|\left(-1\right)^{n-1}\right|=1\).
Suy ra: \(-1\le u_n\le1\) nên \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên bởi \(1\) và chặn dưới bởi \(-1\).
c)
\(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Xét hiệu:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)}< 0\)
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn dưới bởi 0.
\(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{0}}=1\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy số bị chặn trên bởi 1.
Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương
\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)
Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)
Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)
Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)
Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)
\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)
\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)
Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)
\(u_1=\sqrt{3}=tan\frac{\pi}{3}\)
Mặt khác \(tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_n.tan\frac{\pi}{8}}\)
Nhìn công thức \(u_{n+1}\) có dạng \(tan\left(a+b\right)\) nên ta thay thử vài giá trị tìm quy luật
\(u_2=\frac{u_1+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.u_1}=\frac{tan\frac{\pi}{3}+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\frac{\pi}{3}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)\)
\(u_3=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right).tan\frac{\pi}{8}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+2.\frac{\pi}{8}\right)\)
Dự đoán số hạng tổng quát có dạng: \(u_n=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(n-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Giả sử công thức đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(u_{k+1}=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\)(các số hạng đầu đã kiểm tra nên chứng minh quy nạp chắc khỏi cần kiểm tra lại)
Thật vậy, với \(n=k+1\) ta có:
\(u_{k+1}=\frac{u_k+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_k.tan\frac{\pi}{8}}=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\) (đpcm)
a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
b) \(u_1=3^1-7=-4\); \(u_2=3^2-7=2\); \(u_3=3^3-7=25\);
\(u_4=3^4-7=74\); \(u_5=3^5-7=236\).
\(u_n-u_{n-1}=3^n-7-\left(3^{n-1}-7\right)=3^n-3^{n-1}=2.3^{n-1}\)\(\left(n\ge2\right)\).
Với \(n\ge2\) thì \(2.3^{n-1}>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
\(u_n=\sqrt[]{n+10}-\sqrt[]{n+2}\)
\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{n+10-\left(n+2\right)}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(u_{n+1}=\sqrt[]{n+11}-\sqrt[]{n+3}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{n+11-\left(n+3\right)}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)
\(u_{n+1}-u_n=8\left(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}-\dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\right)\)
mà \(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}< \dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n< 0\)
Vậy dãy đã cho là dãy số giảm