Câu hỏi của Sách Giáo Khoa

Question

Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số :

a) $u_n=n+\dfrac{1}{n}$

b) $u_n=\left(-1\right)^{n-1}\sin\dfrac{1}{n}$

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Minh Hải · Accepted Answer

Xét hiệu: un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗ Suy ra: un là dãy số tăng (1) Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗ Nên un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3) Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới. b) Ta có: u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0 u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin⁡12=−sin⁡12<0u3=(−1)2.sin⁡13=sin⁡13>0 ⇒ u1 > u2 và u2 < u3 Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu. Ta lại có: |un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin⁡1n|=|sin⁡1n|≤1⇔−1≤un≤1 Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu. c) Ta có: un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n Xét hiệu: un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n Ta có: {√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n ⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0 ⇒ un là dãy số giảm (1) Mặt khác: un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗ Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1 Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1 Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặnCâu trả lời: Xét hiệu: un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗ Suy ra: un là dãy số tăng (1) Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗ Nên un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3) Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới. b) Ta có: u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0 u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin⁡12=−sin⁡12<0u3=(−1)2.sin⁡13=sin⁡13>0 ⇒ u1 > u2 và u2 < u3 Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu. Ta lại có: |un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin⁡1n|=|sin⁡1n|≤1⇔−1≤un≤1 Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu. c) Ta có: un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n Xét hiệu: un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n Ta có: {√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n ⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0 ⇒ un là dãy số giảm (1) Mặt khác: un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗ Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1 Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1 Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn

Bùi Thị Vân · Answer

a) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)$$=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0$ (Với mọi $n\in N^{\circledast}$ ). Suy ra: $u_{n+1}>u_n$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng. Mặt khác: $u_n\ge2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn dưới bởi 2. Mặt khác n càng tăng thì $u_n$ càng lớn theo giá trị của $n$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số không bị chặn trên. b) $u_1=\left(-1\right)^{1-1}.sin1=sin1>0$. $u_2=\left(-1\right)^{2-1}sin\dfrac{1}{2}=-sin\dfrac{1}{2}< 0$. $u_3=\left(-1\right)^{3-1}.sin\dfrac{1}{3}=sin\dfrac{1}{3}>0$. Ta thấy $u_1>u_2$ và $u_2< u_3$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số không tăng và không giảm. $\left|u_n\right|=\left|\left(-1\right)^{n-1}sin\dfrac{1}{n}\right|\le\left|\left(-1\right)^{n-1}\right|=1$. Suy ra: $-1\le u_n\le1$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn trên bởi $1$ và chặn dưới bởi $-1$. c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}$$=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ $=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}$ $=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)}< 0$ Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm. $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn dưới bởi 0. $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{0}}=1$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn trên bởi 1.Câu trả lời: a) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)$$=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n^2+n-1}{n\left(n+1\right)}>0$ (Với mọi $n\in N^{\circledast}$ ). Suy ra: $u_{n+1}>u_n$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng. Mặt khác: $u_n\ge2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn dưới bởi 2. Mặt khác n càng tăng thì $u_n$ càng lớn theo giá trị của $n$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số không bị chặn trên. b) $u_1=\left(-1\right)^{1-1}.sin1=sin1>0$. $u_2=\left(-1\right)^{2-1}sin\dfrac{1}{2}=-sin\dfrac{1}{2}< 0$. $u_3=\left(-1\right)^{3-1}.sin\dfrac{1}{3}=sin\dfrac{1}{3}>0$. Ta thấy $u_1>u_2$ và $u_2< u_3$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số không tăng và không giảm. $\left|u_n\right|=\left|\left(-1\right)^{n-1}sin\dfrac{1}{n}\right|\le\left|\left(-1\right)^{n-1}\right|=1$. Suy ra: $-1\le u_n\le1$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn trên bởi $1$ và chặn dưới bởi $-1$. c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}$$=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ $=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}$ $=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)}< 0$ Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm. $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn dưới bởi 0. $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{0}}=1$ nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn trên bởi 1.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP