Question

[Pham Trong Bach]

Xét số  a b c _ sao cho:  =  a b _ +  b c _  +  a c -  +  c a -  +  c b -  +  b a _

a) Chứng minh rằng abc là số chẵn và chia hết cho 11.

b) Tìm số  a b c _  biết a = 1.

(Trích đề thi tuyến sinh vào trường Hà Nội - Amsterdam năm học 1994 - 1995)

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

a b c _  =  a b _ +  b c _  +  a c -  +  c a -  +  c b -  +  b a _

Theo cấu tạo số ta có:

a b c _ = (a × 10 + b) + (b × 10 + c) + (c × 10 + a) + (a × 10 + c) + (c × 10 + b) + (b × 10 + a)

a b c _ = = (a + b + c) × 2 × 11                         (1)

Từ (1) ta thấy  a b c _ là số chẵn và chia hết cho 11.

b) Khi a = 1 thì  a b c _   = 1 b c _  , từ (1) ta có:

1 b c _   = (1+ b+ c) × 22

100 + 10 × b + c = 22 + 22 × b + 22 × c

78 = 12 × b + 21 × c                                 (2)

Vì 78 là số chẵn, 12 là sổ chẵn nên 21 × c phải là số chẵn. Mặt khác, từ (2) ta thấy c phải nhỏ hơn 4. Vậy, c = 0 hoặc  c = 2.

- Nếu c = 0 thì: 78 = 12× b + 21× 0. Không xác định được b.

- Nếu c = 2 thì: 78 = 12 × b + 21 × 2 Tìm được b = 3.

Vậy, số phải tìm là 132.