Question

[Phạm Thanh Trà]

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện \(2\left(x+y\right)+7z=xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=2x+y+2z\)

Answer 1

[Bùi Bích Phương]

Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương  nên xy-7>0.

Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)

Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)

Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :

\(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)

\(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)

             \(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)

Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)

Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)

Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2