Question

[Duy Khang]

X4-2.(m+2)x2+m2-2m+3=0

Định m để phương trình có 4 nghiệm 

Tìm hệ thức độc lập với m 

Tìm E=x1.x2.x3.x4 theo m .Tính GTNN của E

Answer 1

[Duy Khang]

Ai giúp mik vs ạ

Answer 2

[Ngoc Anh Thai]

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

Khi đó phương trình ban đầu tương đương với pt\(t^2-2\left(m+2\right)t+m^2-2m+3=0\) (*) 

Để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ 

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2-m^2+2m-3>0\\2\left(m+2\right)>0\\m^2-2m+3>0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}6m+1>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{6}\\m>-2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(m>-\dfrac{1}{6}.\)

Giả sử (*) có hai nghiệm là t1, t₂. Khi đó theo Viet ta có t₁.t₂ = m² - 2m + 3.

Ta có: x₁.x₂.x_3.x₄ = t_1.t₂ = m² - 2m +3.

Ta có E = m² - 2m + 3 = (m - 1)² + 2 ≥ 2.

Min E = 2. Dấu bằng xảy ra khi m = 1.